Le théorème de Jörgens

Gérard Letac^{∗}

4th October 2001

Théorème de Jörgens: Soit E un espace euclidien de dimension 2, f : E → IR convexe de classe C^{2} telle que det f′′(θ) = 1 pour tout θ ∈ E. Alors f′′ est constante.

Lemme 1: Soit E un espace euclidien de dimension quelconque, f : E → IR convexe de classe C^{2}; alors g : E → E définie par g(θ) = θ + f′(θ) est un difféomorphisme de E sur lui même.

Démonstration du lemme 1: F : [0, 1] → IR défini par F (t) = f((1 − t)θ_{1} + tθ) (où θ et θ_{1} sont dans E) est convexe et donc < θ_{1} − θ, f′(θ_{1}) − f′(θ) > ≥ 0. Par conséquent

||g(θ_{1}) − g(θ)||^{2} = ||θ_{1} − θ||^{2} + ||f′(θ_{1}) − f′(θ)||^{2} + 2 < θ_{1} − θ, f′(θ_{1}) − f′(θ) >≥ ||θ_{1} − θ||^{2},

ce qui montre que g est injective. Puisque f′′(θ) est un endomorphisme symétrique positif, g′(θ) = id_{E} +f′′(θ) est de déterminant ≥ 1 et donc, d’après le théorème d’inversion locale, g est un difféomorphisme entre E et g(E), et g(E) est ouvert. Enfin, g(E) est fermé; en effet, si y_{n} = g(θ_{n}) est une suite de g(E) qui converge vers y, on a vu que

||y_{n} − y_{k}|| ≥ ||θ_{n} − θ_{k}||.

Comme la suite convergente (y_{n})_{n=0}^{∞} a la propriété de Cauchy, la suite (θ_{n})_{n=0}^{∞} également et θ = lim_{n∞} θ_{n} existe. Donc, g(θ) = lim_{n∞} g(θ_{n}) = lim_{n∞} y_{n} = y est bien dans g(E). Par connexité, g(E) = E.

Lemme 2: Soit a un endomorphisme symétrique positif et de déterminant 1 d’un espace euclidien E de dimension 2, et soit s dans le groupe orthogonal O(E) avec det(s) = −1. Alors il existe u ∈ O(E) avec det(u) = 1, et c ∈ [0, 1] tels que

b = s(id_{E} − a)(id_{E} + a)^{−1} = cu.

En particulier, b est une similitude directe.

Démonstration du lemme 2: Soit e une base orthonormale de diagonalisation de a , avec [a]_{e}^{e} = diag(λ, λ^{−1}) pour matrice représentative dans cette base et 0 < λ ≤ 1. Alors s^{−1}b = diag(c, −c), avec c = \frac{1−λ}{1+λ}. Définissons s_{1} ∈ O(E) par [s_{1}]_{e}^{e} = diag(1, −1), puis u = ss_{1}: on a bien b = cu.

∗Laboratoire de Statistique et Probabilités, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse.

Démonstration du théorème: Soit s dans O(E) avec det(s) = −1, h la fonction réciproque de g définie par g(θ) = θ + f′(θ), qui d’après le lemme 1 existe et applique E dans lui même. Soit k la fonction de E dans E définie par

k(θ) = s(h(θ) − f′(h(θ))).

D’après le théorème de dérivation des fonctions composées, on a avec a = f′′(h(θ)):

k′(θ) = s(id_{E} − a)(id_{E} + a)^{−1} (∗)

et donc d’après le lemme 2, k : E → E est une fonction de classe C^{1}(E) telle que k′(θ) est une similitude directe pour tout θ ∈ E. Si e = (e⃗_{1}, e⃗_{2}) est une base orthonormale de E fixée, paramétrons E par les complexes :

z = θ_{1} + iθ_{2} ↦ θ(z) = θ_{1}e⃗_{1} + θ_{2}e⃗_{2},

et donc z ↦ k(θ(z)) est donc une fonction entière. Mais sa dérivée est aussi une fonction entière, qui est bornée car le lemme 2 impliquait aussi que ||k′(θ(z))|| ≤ 1. D’après le Théorème de Liouville, k′ est donc constante, d’après (*) θ ↦ f′′(h(θ)) est constante et, puisque h est bijectif, f′′ est constante.

Commentaires: Pogorelov dans son livre (page 90) démontre la généralisation du théorème à un espace euclidien de dimension n quelconque, en s’appuyant sur les démonstrations de Jörgens pour n = 2 et de Calabi pour n = 3, 4, 5. C’est très obscur...

Bibliographie: CALABI, E. (1958) Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jorgens. Michigan Math. J. 5 105-126.

JORGENS, K. (1954) Uber die Losungen der Differentialgleichung. Math. Annalen 127 130-134.

POGORELOV, A. V. (1978) The Minkowski Multidimensional Problem. Wiley New York.