Retournements de la sphère

Arnaud Chéritat, CNRS

Maths en Jeans
Toulouse, avril 2016

Topologie

La topologie, c'est quoi ?
C'est le nom d'une branche des mathématiques.
La topologie, c'est quoi ?
Par exemple on étudie les déformation possibles entre objets.
Pour un topologue : tasse = tore
La classification des formes est une branche de la topologie.
Genre 0 Genre 1Genre 2Genre 3 …
Règles : on peut déformer mais pas déchirer ni coller
auto-intersections autorisées
Théorème : Toute surface* fait partie
d'une des catégories ci-dessus.
Un autre exemple de théorème en topologie.

Théorème (Euler). Étant donnée une décomposition polygonale d'une surface fermée :

genre = (2 + arrêtes − faces − sommets) ÷ 2

0 = (2 + 12a − 6f − 8s) ÷ 2

0 = (2 + 30 − 12 − 20) ÷ 2

1 = (2 + 2×432 − 432 − 432) ÷ 2

Le genre est une propriété intrinsèque

Auto-intersection

Certains surfaces, comme la Bouteille de Klein, ne peuvent être représentée dans l'espace sans auto-intersection.

La surface suivante est intrinsèquement un tore, mais représenté dans l'espace d'une telle façon qu'aucune déformation ne peut retirer l'auto-intersection sans créer de pincement.

Retournement

Le théorème de Smale

À la fin des années 1950, Stephen Smale a développé une théorie dont les conséquences incluaient un curieux résultat :
Théorème. On peut échanger les faces internes et externes de la sphère sans la déchirer ni la plier, pourvu qu'on s'autorise à passer par des auto-intersections.
Il a fourni une preuve de l'existence d'une telle déformation mais n'en a pas construit.
Cela a posé une énigme irresistible à des générations de mathématiciens.
Note : ce théorème particulier n'a aucune application dans la vie courante. La théorie de Smale a des implications subtiles en mathématiques.

Une tentative avortée

Le tore


Curieusement, retourner un tore est plus facile.

1966: A. Phillips
Scientific American
1960: A. Shapiro
1979: Francis et Morin
?1966 B. Morin
1979: J.P. Petit et Morin
Pour la science
↓

1970: modèles en
grillage (C. Pugh)
1976: Film (N. Max & co)

19××: D. Hakon
non publié
1974: B. Thurston
1994: Film Outside In
Geometry Center
1995: D. Sullivan
1998: Film Optiverse
2010: Film Holiverse
I. Atchinson
1996: de Neve
2015: C. Hills
Film (en cours)
↑

Une nouvelle méthode

Encore une !

Courbes dans le plan

Nombre d'enroulement

C'est le nombre de tours complets que fait sur lui-même quelqu'un qui suit la courbe. Chaque tour à gauche = +1, à droite = −1.

Il dépend du sens de parcours : courbes orientés.

Déformations autorisées

intersections OK pas de recollement ou déchirement pas de pincement

On déforme aussi bien des courbes que des courbes orientées.

Invariance

Théorème : Le nombre d'enroulement des courbes orientées est invariant par déformation.

Donc...

Le retournement du cercle dans le plan est impossible !

Réciproque : Deux courbes de même nombre d'enroulement peuvent être déformées l'une en l'autre.
Cette réciproque est due à Whitney et Graustein (1937). La déformation est explicite et facilement programmable.
En famille : On peut déformer de concert en une même courbe toutes les courbes d'un nombre d'enroulement donné (non nul).
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Images et films :
Jos Leys

Fin

Présentation HTML5 réalisée avec Impress.js et Google Fonts.
Illustrations et films : sources diverses + réalisations avec Blender et POV-Ray.
Films orange et bleus: Jos Leys avec POV-Ray.