Hermite

La transcendance de e par Hermite (1873... il y a 139 ans, donc)

L'article de Hermite commence sur une très intéressante discussion sur les approximations polynomiales et frationnelles de e^x, jaugées par leur DSE en 0.

Puis il sort soudainnement du chapeau des formules intégrales sur lesquelles tout est basé.

Il semble qu'on ne peut pas déduire ces formules de la discussion les précédant. La façon dont il les a trouvées est donc cachée. Il ne donne aucune indication sur comment il les a trouvées, ni d'où elles viennent. Je me demande si Hermite a trouvé sa formule en essayant de résoudre le système ou s'il n'est pas tombé sur la formule d'abord lors d'autres recherches, et a constaté qu'elle était utile pour la transcendance de e.

L'histoire de ces formule est probablement fascinante, et je trouve dommage qu'elle soit complètement perdue.

Précisons la première partie: Hermite cherche à trouver des approximations frationnelles de e^x, e^2x, …, e^nx de même dénominateur. Autrement dit on veut trouver un polynôme B(x) et des polynômes A₁(x), …, A_n(x) de même degrés d, tels que A_m(x)/B(x) soit une bonne approximation de e^mx : plus précisément on veut qu'un maximum de premiers termes du DSE coïncident. Cela se reformule ainsi : $$B(x)e^x-A_1(x) = O(x^q)$$ $$…$$ $$B(x)e^{mx}-A_m(x) = O(x^q)$$ C'est un système linéaire sur les coeffs de A, B. On voit par comptage de paramètres qu'il faut que d=np et q=d+p+1. Hermite prouve que le comptage est correct. Notons qu'on peut tout exprimer en fonction de B uniquement: on veut que B(x)e^mx ait des coefficients en x^d+1, x^d+2, …, x^d+p=x^q-1 tous nuls, pour m=1,…,n : $$[B(x)e^{mx}]_{j} = 0$$ avec j=d+1, …, d+p.

Voir des exemples ci dessous.

Hermite donne une solution explicite avec des formules intégrales (toute solution lui est proportionnelle) : je ne donne pas ses formules mais une reformulation : \[B(x) = ∫_{0}^{+∞} u^{p}(u-x)^p(u-2x)^p…(u-mx)^p e^{-u}du.\] C'est beau, mais c'est comme regarder la photo du sommet d'une montagne au lieu de la gravir. Autre écriture : \[B(x) = x^q ∫_{0}^{+∞} t^{p}(t-1)^p(t-2)^p…(t-m)^p e^{-xt}dt.\]

On constate que formule de Hermite est un cas particulier de : $${B(x)}/{x^q} = L(P)$$ où L est la transformée de Laplace et P est un polynôme. On peut à partir de cette indication retrouver le P qui convient, que Hermite donne directement et sans mentionner la transformée de Laplace. On est déjà moins passif, mais comment justifier a priori une telle aproche ?

On peut se dire qu'il a d'abord réécrit l'équation à résoudre comme \[ [{B(x)e^{mx}}/x^q]_{(-j)} = 0 \] pour j=1, …, p. (On est alors tenté de laisser x tendre vers l'infini mais ça ne semble pas mener quelque part.)
Idée intéressante : \[∮{B(z)}/z^q z^j e^{mz} dz = 0\] pour j=1, …, p je n'arrive pas à exploiter. (notons que les $x^j e^{mx}$ forment une base du noyau de $(D-1)^p…(D-m)^p$ où D est l'opérateur de dérivation… Je ne sais pas exploiter ça non plus.)
Je ne trouve pas…

Exemples

Le cas m=1 déjà donne des choses intéressantes. C'est l'analogue au niveau des DSE des fractions continues. On retrouve en particulier les quotients partiels (les réduites), enfin la moitié d'entre elles plus précisément. Pour retrouver les autres il faut utiliser $P=t^{p-1}(t-1)^p$ au lieu de $P=t^p(t-1)^p$ (voir plus bas). \[(p=1),\ e^x = {2+x}/{2-x}+O(x^3)\] \[(p=2),\ e^x = {24+12x+2x^2}/{24-12x+2x^2}+O(x^5)\] \[(p=3),\ e^x = {720+360x+72x^2+6x^3}/{720-360x+72x^2-6x^3}+O(x^7)\] \[(p=4),\ e^x = {40320+20160x+4320x^2+480x^3+24x^4}/{40320-20160x+4320x^2-480x^3+24x^4}+O(x^9)\] Mieux, les coeffs du premier terme du grand O sont respectivement pour p=1,2,3,4 : 1/2, 1/720, -1/100800, 1/25401600 : donc on s'attend à ce que le reste soit particulièrement petit. D'un autre côté le dénominateur pour x=1 est un grand entier (même si on chasse le facteur commun) : y'a pas de miracle, rappelons que e est de type Roth. Ces 3 dernières fractions se factorisent par (p!) : \[{12+6x+x^2}/{12-6x+x^2}, {120+60x+12x^2+x^3}/{120-60x+12x^2-x^3},\ {1680+840x+180x^2+20x^3+x^4}/{1680-840x+180x^2-20x^3+x^4}\] On pourra préférer l'écriture \[{1+1/2x+1/12x^2}/{1-1/2x+1/12x^2}, {1+1/2x+1/10x^2+1/120x^3}/{1-1/2x+1/10x^2-1/120x^3},\ {1+1/2x+1/14x^2+1/84x^3+1/1680x^4}/{1-1/2x+1/14x^2-1/84x^3+1/1680x^4}\] À partir de p=6, on a des coeffs dans la forme ci-dessus qui ne sont pas sous la forme ±1/k. Les deux premiers coeffs ne changent jamais. Le troisième, celui en $x^2$, vaut ${p(p-1)}/{2(2p)(2p-1)}$ et tend vers $1/8$ quand p tend vers l'infini. Le n-ième vaut ${p(p-1)⋯(p-(n-1))}/{n!(2p)(2p-1)⋯(2p-(n-1))}$ et tend vers ${1}/{n!2^n}$. On pourrait se demander si le numérateur tend bien vers $e^{x/2}$ et le dénom vers $e^{-x/2}$, et si oui sur quel domaine.

Cas m=2 :
p=1 : \[e^x = {6-x^2}/{6+6x+2x^2} + O(x^4)\] \[e^{2x} = {6-6x+2x^2}/{6+6x+2x^2} + O(x^4)\] p=2 : \[B(x) = 720-720x+312x^2-72x^3+8x^4\] \[A_1(x) = 720-48x^2+2x^4\] \[A_2(x) = 720+720x+312x^2+72x^3+8x^4\] soit \[e^x = {2}/{8}·{360-24x^2+x^4}/{90-90x+39x^2-9x^3+x^4} + O(x^7)\] \[e^{2x} = {90+90x+39x^2+9x^3+x^4}/{90-90x+39x^2-9x^3+x^4} + O(x^7)\] On obtient l'approx simultanée $(e,e^2)≈{(337,916)}/124$, bonne à $≈(1/2000 , 1/500)$ près.

Cas m=3 :
p=1: \[e^x = {12-6x-x^2+x^3}/{12-18x+11x^2-3x^3} + O(x^5)\] \[e^{2x} = {12+6x-x^2-x^3}/{12-18x+11x^2-3x^3} + O(x^5)\] \[e^{3x} = {12+18x+11x^2+3x^3}/{12-18x+11x^2-3x^3} + O(x^5)\] Pour p aussi faible, l'approx est mauvaise.

Pour p=2, les polyn ont degré 6, le reste ordre 9, l'approx simultanée de e est bonne à environ (1/9000,1/3000,1/1000) près, pour un numérateur de 2797.

Pour p=3, les polyn ont degré 9, le reste ordre 13, l'approx simultanée de e est bonne à environ $(10^{-8},2·10^{-8},5·10^{-8})$ près, pour un numérateur $≈2·10^6$.

Avec la version de Hilbert où le $t^p$ est remplacé par $t^{p-1}$ (mais les autres facteurs de P sont inchangés) :

Cas m=1: \[(p=1),\ e^x = {1}/{1-x}+O(x^2)\] \[(p=2),\ e^x = {6+2x}/{6-4x+x^2} + O(x^4)\] \[(p=3),\ e^x = {120+48x+6x^2}/{120-72x+18x^2-2x^3} + O(x^6)\] \[(p=4),\ e^x = {5040+2160x+360x^2+24x^3}/{5040-2880x+720x^2-96x^3+6x^4} + O(x^8)\] Ce dernier s'écrit \[ 4·{210+90x+15x^2+x^3}/{840-480x+120x^2-16x^3+x^4} = {1+3/7x+1/14x^2+1/210x^3}/{1-4/7x+1/7x^2-2/{105}x^3+1/840x^4}\] La troisième p. ex donne pour x=1 l'approximation $174/64(=87/32)$ pour e, l'erreur est de ~0,0005=1/2000.

m=2, p=2 : \[B(x) = 120-144x+78x^2-24x^3+4x^4\] \[A_1(x) = 120-24x-6x^2+2x^3\] \[A_2(x) = 120+96x+30x^2+4x^3\] soit \[e^x = {60-12x-3x^2+x^3}/{60-72x+39x^2-12x^3+2x^4} + O(x^6)\] \[e^{2x} = {60+48x+15x^2+2x^3}/{60-72x+39x^2-12x^3+2x^4} + O(x^6)\]
m=2, p=3 : \[B(x) = 40320-45360x+23760x^2-7560x^3+1584x^4-216x^5+16x^6\] \[A_1(x) = 40320-5040x-1440x^2+240x^3+24x^4-6x^5\] \[A_2(x) = 40320+35280x+13680x^2+3000x^3+384x^4+24x^5\] soit \[e^x = 6/8·{6720-840x-240x^2+40x^3+4x^4-x^5}/{5040-5670x+2970x^2-945x^3+198x^4-27x^5+2x^6} + O(x^6)\] \[e^{2x} = 24/8·{1680+1470x+570x^2+125x^3+16x^4+x^5}/{5040-5670x+2970x^2-945x^3+198x^4-27x^5+2x^6} + O(x^6)\] m=3, p=1 : \[B(x) = 6-12x+11x^2-6x^3\] \[A_1(x) = 6-6x+2x^2\] \[A_2(x) = 6-x^2\] \[A_3(x) = 6+6x+2x^2\] soit \[e^{x} = 2·{3-3x+2}/{6-12x+11x^2-6x^3} +O(x^4)\] \[e^{2x} = {6-x^2}/{6-12x+11x^2-6x^3} +O(x^4)\] \[e^{3x} = 2·{3+3x+2}/{6-12x+11x^2-6x^3} +O(x^4)\]