ANR ABC

Recently T.Ueda showed the simultaneous linearization theorem that analytically connects the Koenigs coordinates for attracting fixed points and the Fatou coordinates for parabolic fixed points with one (attracting) petal. In this talk I will explain his original proof and my alternative proof with a generalization to the case of mutiple petals. As an application we can show that there exists a pinching deformation from any hyperbolic quadratic map (with connected Julia) to parabolic quadratic maps "without" using quasiconformal deformation.

Les applications Misiurewicz dans l'espace des fonctions rationnelles sont des exemples d'applications Collet-Eckmann (non-hyperboliques), c'est à dire d'applications expansives le long des orbites critiques dans l'ensemble Julia. Pour une application Miziurewicz, chaque point critique dans l'ensemble Julia aboutit dans un ensemble hyperbolique. Je montre quelques théorèmes pour ces applications; ils ont mesure zéro dans l'espace des paramètres, et la dimension Hausdorff est égale à la dimension de l'espace des paramètres, c'est à dire 2d+1, où d est le degré. En plus, on peux trouver une application hyperbolique dans chaque voisinage d'une application Misiurewicz.

En associant a chaque cubique plane la cubique definie par le hessien, on obtient un systeme dynamique sur l'espace des modules des courbes elliptiques. Il s'agit d'un systeme dynamique post-critiquement fini sur la droite projective, qui engendre une suite de dessins d'enfants. J'expliquerai comment calculer ce systeme dynamique et comment engendrer algorithmiquement ces dessins d'enfants.

Consider the space of piecewise expanding unimodal maps. We characterize the families of piecewise expanding unimodal maps where the topological dynamics does not change (the "smooth deformations") as the families tangent to a continuous distribution of codimension-one subspaces in that space ("horizontal directions"). As a consequence we show the existence of smooth deformations tangent to every given horizontal direction. This theory relays on a method that resembles "holomorphic motions", a well known tool in complex dynamics. We also give applications of this theory to the study of the differentiability of SBR measures with respect to the parameter in families of piecewise expanding unimodal maps. Joint work with V. Baladi.

L'existence de certains ensembles de Cantor hyperboliques dans les ensembles de Julia quadratiques imposent des conditions sur la monodromie des laçet des ensembles fers a cheval des applications de Hénon. Nous décrirons ces ensembles et des exemples de monodromie imposés par ces restrictions.

Let f: S²→S² be a ramified cover of the topological 2-sphere. If all ramification points have finite orbits under the map f, then f is called a Thurston map. Thurston's topological characterization of rational maps says that such a Thurston map is either equivalent to a rational function, or there is a topological obstruction. One proves Thurston's theorem by defining a holomorphic map on a certain Teichmüller space; this is called Thurston's pullback map. The ramified cover f is equivalent to a rational function if and only if Thurston's pullback map has a fixed point. By presenting different examples, we will show that the behavior of this pullback map can be rather varied. This is joint work with Xavier Buff, Adam Epstein, and Kevin Pilgrim.

La dynamique des diffeomorphismes hyperboliques d'une variete compacte est tres bien comprise. Dans cet expose, nous nous interessons a la classe des dynamiques non-hyperboliques. Cette classe comprend les diffeomorphismes que l'on peut perturber par bifurcation homocline et J. Palis a conjecture que ce sont les seuls. Nous presenterons des avancees recentes dans cette direction, obtenues avec Enrique Pujals.

Two Riemannian metrics g, ~g on a surface M are conformally equivalent if they are related by ~g=e^2ug for some function u: M→ℝ. This talk is concerned with a straightforward discretization of this notion. Instead of a 2-manifold M consider an abstract surface triangulation and instead of Riemannian metrics consider assignments of positive numbers to the edges so that all triangle inequalities are satisfied. Call two such discrete metrics l_ij, ~l_ij (discretely) conformally equivalent if they are related by ~l_ij=e^(u_i+u_j)/2l_ij for some function u_i on the vertices. This simple concept of discrete conformality comes with a surprisingly rich theory. I will briefly explain some of its salient features and their application in computer graphics.

Soit K un corps local de caractéristique nulle et soit phi une application affine de K. L'objectif de cet exposé est de déterminer les parties minimales du système (K,phi) et de donner une condition pour avoir l'égalité des adhérences de deux orbites O(x) et O(y) où x,y∈ K. En particulier, lorsque K=Q_p, on déterminera le nombre de systèmes affines (non triviaux) conjugués. On commencera l'exposé par un rappel sur les notions de valuation et de corps local.

Un résultat célèbre de Carleson, Jones et Yocoz montre que le bassin d'attraction de l'infini d'un polynôme P est un domaine de John si et seulement si P est semi-hyperbolique. Je démontre que les composantes de l'ensemble de Fatou d'une application rationnelle semi-hyperbolique sont de domaines de John. La réciproque n'est pas vraie. J'ai aussi mis en évidence la connexité locale des ensembles de Julia connexes pour une large classe d'applications rationnelles non-uniformément hyperboliques. Cette classe contient, par exemple, les applications semi-hyperboliques et celles qui satisfont la condition de Collet-Eckmann topologique.

Nous expliquerons comment des outils de dynamique holomorphe à plusieurs variables, notamment ceux développés pour comprendre les applications de Hénon, peuvent être utilisés pour aborder des problèmes liés à la géométrie hyperbolique, aux espaces de Teichmüller et au plongement de Bers (pour le tore troué ou la sphère privée de 4 points).

Les difféomorphismes d'Anosov sont des transformations hyperboliques, i.e., contractantes dans une direction et dilatantes dans une autre. Elles sont extrêmement chaotiques, et leur propriétés tant topologiques que du point de vue de la théorie de la mesure sont très bien comprises depuis les années 70, grâce à une technique de codage. Je décrirai une technique plus récente qui permet de construire directement les mesures intéressantes (mesure d'entropie maximale, mesure SRB, etc.) sur la variété, et d'en obtenir automatiquement toutes les propriétés de mélange (travail avec C. Liverani) . Cette technique présente des similarités avec l'utilisation des courants en dynamique holomorphe, mais aussi certaines différences essentielles.

For a rational map f with disconnected Julia set, under the assumption that there is at most one wandering Julia component such that it is buried, simply connected and contains at least one critical value, we prove that each multiply connected wandering Julia component is eventually simply or doubly connected.

In this talk I present some results concerning the perturbation of rational Misiurewicz maps on the Riemann sphere. Such maps are non-hyperbolic and have the property that the critical set on the Julia set is non-recurrent. Moreover, there should be no parabolic cycles. I present and discuss the proof of the fact that every Misiurewicz map (apart from flexible Lattes maps) can be perturbed into a hyperbolic map. If the Julia set is the not the whole Riemann sphere (for a given Misiurewicz maps) the map is a density point of hyperbolic maps. The obstacle with flexible Lattes maps will also be considered if time allows.

En 1954, F. Nash énonce un théorème déconcertant : il n'y a pas d'obstruction à l'existence de plongements isométriques en petite codimension ! Complété par N. Kuiper, son résultat implique qu'il existe des plongements isométriques de tores plats dans l'espace euclidien de dimension trois mais aussi, que l'on peut plonger isométriquement la sphère ronde de rayon 1 dans une boule de rayon 1/2 ou encore, que l'on peut effectuer le retournement de la sphère de façon isométrique... Bien sûr, la courbure de Gauss interdit à tous ces objets d'être de classe C², mais ils sont tout de même de classe C¹ et possèdent en tout point un espace tangent. Plus tard, en revisitant les travaux de nombreux géomètres, M. Gromov invente une technique qui généralise et éclaire de façon extraordinaire la manière dont F. Nash et N. Kuiper ont construit leurs plongements isométriques : c'est la technique de l'intégration convexe. A l'aide de cette méthode, une implémentation est possible et la visualisation des plongements paradoxaux de F. Nash et N. Kuiper devient envisageable. Nous nous intéresserons au cas des tores plats.

L'ensemble de rotation annoncé par le titre est un invariant de conjugaison qui décrit la vitesse asymptotique à laquelle les points, proches d'un point fixe donné, lui tournent autour. La construction généralise le cas classique des homéomorphismes du cercle. J'expliquerai cette construction, et je donnerai quelques résultats : caractérisation topologique des points fixes paraboliques de la dynamique holomorphe, théorème de Naishul et lien avec la différentiabilité, existence d'orbites périodiques.

The emphasis of the talk will be on rescaling limits of complex rational maps (in one variable) and its Puiseux series dynamics counterpart. After giving some examples, we will agree on the notion of rescaling limits for sequences of rational maps and the weaker notion of algebraic rescaling limits for some holomorphic one parameter families. We will give an upper bound for the number of distinct algebraic rescaling limits of a holormophic family, which are not post-critically finite. (The analogous bound in the context of rescaling limits for sequences of rational maps is not proven, although, conjecturally true.) We will discuss the main ingredients of the proof of this upper bound which relies on studying the dynamics of certain rational maps on the Berkovich projective line over the (completion of the) field of formal Puiseux series.

The parabolic curves of a tangent to the identity diffeomorphism in two variables play a role similar to the invariant curves of a plane vector field. In fact, there is a dictionary between local dynamical systems in two variables and (formal) vector fields, given by the infinitesimal generator. In this way we can export results from the theory of vector fields to the theory of dynamical systems, as for example the existence of parabolic curves for any diffeomorphism tangent to the identity with isolated fixed point. Moreover, a natural question that would make even stronger the dictionnary above is to know if the parabolic curves for a diffeomorphism obtained from Hakim’s theorem are the Gevrey sums (in the sense of summability theory) of the formal separatrices of the infinitesimal generator. We give a positive answer to this question.

In this talk, we will give a proof of the Huber's theorem which states that the spectra of the Laplacian for two compact Riemann surfaces are the same if and only if the surfaces have the same length spectrum, i.e. the same sequence of lengths of closed geodesics. Let M denote a compact Riemann surface of genus g ≥ 2. Then M can be represented as a quotient space G\ℍ, where G is a subgroup of PSL(2;ℝ) acting freely and properly discontinuously on the upper half plane . First we will give a proof of the length trace formula which yields the Selberg trace formula together with the pre-trace formula. As a consequence of the length trace formula, we will obtain Huber's theoerem by looking at the heat kernel pM of M.

Dans cet exposé, j'expliquerai le lien entre l'induction de Rauzy-Veech et les facteurs de dilatations des homéomorphismes de type pseudo-Anosov (dont je rappelerai les définitions). En application nous verrons comment l'induction de Rauzy-Veech-Yoccoz permet de calculer ces coefficients et quelles propriétés générales nous pouvons en déduire.

Soit H un Hamiltonien lisse, défini sur Tⁿ×ℝⁿ le cotangent du tore, de type Tonelli (strictement convexe dans les fibres). On définira les ensembles introduits en théorie d'Aubry-Mather ainsi que les solutions KAM faible et on mettra en évidence les liens entre ces objets. Soit maintenant H et G deux Hamiltoniens de type Tonelli en involution. On expliquera les liens entre, l'ensemble d'Aubry de H et celui de G, les solutions KAM faible de H et celles de G.

Consider the set U⁺ of points that escape in forward time under the complex Hénon map H(x,y)=(x²+c-ay,x). This set can be presented as a quotient of the cross product of the outside of the closed unit disc with ℂ by a discrete group of automorphisms isomorphic to ℤ[1/2]/ℤ. We will show how to extend this description to (ℂ-int(D))×ℂ in certain cases, in order to capture the boundary J⁺ of U⁺. We will analyze this extension for Hénon maps that are small perturbations of hyperbolic polynomials with connected Julia sets. The talk is based on joint work with John Hubbard and Remus Radu.

We will describe how to build topological models ("pinched ball models") for a certain class of complex Hénon maps, including small perturbations of z²+c, with |c+1|<1/4. The underlying model where the nontrivial pinching takes place is a 3-sphere with a solenoid removed; the pinching is done inside a 4-ball. The one-dimensional analogue is the pinched disk model for polynomial Julia sets, which plays an important role in understanding connected Julia sets. This is joint work with John Hubbard and Raluca Tanase.

Dans un travail en cours avec H. Eliasson et R. Krikorian, on construit des difféomorphismes du tore solide qui préservent le volume, qui sont ergodiques et ont leur restriction au bord égales à une translation arbitraire (y compris diophantienne). On discutera cette construction et ses relations au problème d'exitence de tores quasi-périodiques invariants d'un flot hamiltonien au voisinage d'un tore invariant de fréquence diophantienne.

Le modèle de windtree est un modèle de gaz introduit en 1912 par Ehrenfest. Son étude se ramène à celle d'un flot linéaire sur une surface plate non compacte. Nous étudions certaines propriétés dynamiques simples : les orbites périodiques, la récurrence du flot, la vitesse de diffusion d'une particule.

Les transformations grossierement conformes et expansifs forment une classe similaire a celle des groupes hyperboliques au sens de Gromov. A un tel systeme dynamique, on lui associe un invariant de conjugaison topologique: la dimension conforme. Le but de cet expose sera de montrer que, pour une telle transformation f de la sphere, la dimension conforme est atteinte exactement dans deux cas: ou bien f est conjuguee a une fraction rationnelle, ou bien f est conjuguee a un exemple de Lattes reel. La demonstration proposee produit une demonstration alternative du resultat analogue de Bonk et Kleiner sur les groupes hyperboliques.

Le problème de Plateau est le suivant : montrer que toute courbe de Jordan de R^3 est le bord d'un disque minimal. Les premières résolutions générales (reconnues !) sont données au début des années 1930 par Douglas et Rado. Pourtant, en 1928, Garnier a proposé une résolution dans le cas d'un bord polygonal qui semble avoir été complètement oubliée. Sa démonstration, très différente de la méthode variationnelle, repose sur le fait qu'on peut associer une équation fuchsienne réelle à toute surface minimale à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions des côtés du bord polygonal. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert, et à construire des déformations isomonodromiques d'équations fuchsiennes. Je vais présenter les grandes lignes de la démonstration de Garnier sous la forme plus achevée que j'ai proposée dans ma thèse. J'expliquerai ensuite brièvement comment généraliser l'approche de Garnier au cas où l'espace ambiant est l'espace de Minkowski, et enfin comment en déduire par approximation polygonale une résolution du problème de Plateau pour toute courbe de bord C^2 par morceaux (travail en cours en collaboration avec R. Jakob).

It is an open problem whether classical repelling periodic points are dense in the classical Julia set of a rational function over non-archimedean fields. In this talk, we give a partial positive answer to this question based on a study of ``logarithmic equidistribution'' on Berkovich projective line over non-archimedean fields.

About fifteen years ago, Palis conjectured that typical dynamical systems should possess good statistical properties. Through the work of Avila, Lyubich, de Melo and Moreira, this has been proven for unimodal maps with a non-degenerate critical point. I will show how to remove the condition on the critical point in analytic families of unimodal maps; along the way proving that that the hybrid classes in the space of unimodal maps yield a lamination near all but countably many maps in the family. The essential difference in the higher degree case is the presence of non-renormalizable maps without decay of geometry.

Séminaire de Dynamique

à l'Institut de Mathématiques de Toulouse