 | Un pavage hyperbolique : la surface modulaire. Il existe une métrique sur le disque pour laquelle les géodésiques sont les arcs de cercles orthogonaux au bord du disque. Les automorphisme de cette structure sont exactement les bijections holomorphes du disque, et ce sont les applications de möbius qui conservent le bord du disque. La plupart des variétés complexes de dimension complexe = 1 sont isomorphes à un quotient du disque par un sous groupe de ces automorphismes. On a ici choisi pour variété la sphère moins trois point. C'est un revêtement ramifié de la surface modulaire (la sphère moint un point, qui classifie les tores complexes). On a dessiné un pavage du disque en fonction du point du quotient auquel il correspond. Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage TURBO PASCAL. |
 | Projection exponentielle du chou-fleur vu dans le cylindre d'Ecalle, rempli selon sa coordonnée linéarisante attractive. Le chou-fleur est l'ensemble des points qui ne sont pas dans le bassin d'attraction de l'infini par le polynôme P : z->z^2+1/4. Tous les points situés dans l'intérieur de cet ensemble sont attirés par le point 1/2, tangentiellement à l'axe des x et par la gauche. Si on fait le quotient du plan par P au voisinage de 0, on obtient un cylindre à gauche (dit attractif) et un cylindre à droite (dit répulsif). On a colorié l'intérieur du chou-fleur en fonction de l'endroit du cylindre où le point tombe quand on itère P suffisament. Dans ce dessin là, on est en train de regarder l'image de ce coloriage dans le cylindre répulsif. Ce cylindre a été projeté sur le plan par l'application exponentielle : l'un des bouts se trouve au point 0. Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage TURBO PASCAL. |
 | Etude du point parabolique du chou-fleur. On a matérialisé avec deux couleurs des régions délimitées par l'axe des x et ses dix premières images réciproques par l'application z->z^2+1/4 (z est un nombre 'complexe' représentant un point du plan). On a inclus une coupure (que l'on devine sous la forme d'ellipses emboîtées) pour rendre la figure plus lisible. Le tout est vu au travers du changement de coordonnée z->1/(z-1/2). Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage TURBO PASCAL. |
 | Un ensemble de Julia, c'est le lieu où la dynamique de l'application z->z^2+c est instable. Ici, on a choisi une valeur de 'c' donnant une belle image. Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage BORLAND C++. |
 | Papillons perturbés. Par papillons, on entend les figures qui viennent se greffer au chou-fleur quand on perturbe le paramètre c=1/4 en une valeur proche : c=1/4+epsilon, epsilon désigant une toute petite valeur positive. Ici on a modifié l'aspect des papillons en perturbant une autre application. Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage BORLAND C++. |
 | Trompe d'éléphant. Décidément, le langage de ce domaine des mathématiques est poétique. Il s'agit d'un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot (l'ensemble des paramètres 'c' pour lequel l'ensemble de Julia associé ne varie pas continûment). Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage BORLAND C++. |
 | Copie homocline et son chou-fleur. Encore un zoom sur l'ensemble de Mandelbrot 'dM'. Cette fois-ci on a colorié l'extérieur, en fonction de la vitesse d'échapement. 'dM' contient des copies de lui-même (soit dit en passant : elles sont en nombre infini, de plus en plus petites, et elles sont dense dans 'dM', et cette dernière assertion à de quoi donner le vertige). Ici on voit s'incruster une image du chou-fleur et de ses papillons, que l'on trouve près du point de rebroussement de la plus grosse copie de 'dM'.Ce dessin a été réalisé avec un programme en langage BORLAND C++. |
 | La surface de Boy est une immersion dans l'espace (que l'on appelle aussi |R^3) de la variété abstraite appelée plan projectif (son petit nom est |RP^2). On a enlevé un morceau pour permettre de voir à l'interieur : normalement les trois tubes se rejoignent. Le morceau enlevé est homéomorphe à (il a la même forme qu') un disque. Qu'est-ce que cela veut dire ? Une sous-variété, c'est par exemple une surface lisse (sans pli ni déchirure) dans l'espace. Une variété abstraite, c'est une surface lisse définie idépendament de l'espace. Une immersion, c'est une surface lisse qui peut se recouper, mais uniquement transversalement. Voici un modèle du plan projectif : prenez une sphère, et identifiez les points opposés. Il n'y a pas de modèle de |RP^2 qui soit une sous variété de l'espace, mais il en existe une immersion. Ces dessins ont été réalisés avec le logiciel de ray-tracing P.O.V. L'anaglyphe a été construit à partir de deux images à l'aide d'un logiciel de retouche d'images. |
 | Pavage du plan par une fonction elliptique. La fonction elliptique en question est celle qui envoie le réseau dit hexagonal sur la sphère de Riemann. On a pavé le plan par ce réseau, formé de trois ensembles de droites parallèles qui dessinent des triangles équilatéraux, puis on a dessiné l'image de ce pavage par la fonction. Ce dessin a été réalisé avec MAPLE. |
 | Un solénoïde en mathématiques, cela désigne un tout autre objet que ce que l'on trouve dans les circuits électriques. Il s'agit de l'intersection d'une suite infine de tores pleins : chacun contient le suivant, et ce dernier fait deux tours dans le précédent. Ce dessin a été réalisé avec MAPLE |
 | La sphère cornue d'Alexander, ci-contre est un sous ensemble de l'espace homéomorphe à (il a la même forme à déformation intrinsèque près que) la sphère. (Cette affirmation peut surprendre à première vue). Ainsi que l'exige le théorème de Jordan (étendu), son complémentaire a deux composantes connexes : l'intérieur et l'extérieur. Tout comme le cas d'une sphère usuelle située dans l'espace, l'intérieur de la sphère d'Alexander est homéomorphe à l'intérieur d'une boule. Mais l'extérieur n'est pas homéomorphe à l'extérieur d'une sphère dans l'espace. Ce dessin a été réalisé avec MAPLE. |
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Partition de Markov itérée d'un endomorphisme hyperbolique (Anosov) du tore de dimension 2, On part d'une partition de Markov à 7 rectangles pour l'automorphisme du tore (|R/Z)X(|R/Z) donné par la matrice M ci-contre, et on considère la partition engendrée par ses images directes et inverses jusqu'à l'ordre 6. Le dessin est fait dans le revêtement universel, et on a indiqué en bleu un domaine fondamental, dont les coins sont sur des points fixes.
Ce dessin a été réalisé avec MAPLE. |
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Le collier d'Antoine Il s'agit d'une chaîne fractale dans l'espace (à 3D). Pour la construire, on part d'une chaîne, on remplace chaque maillon par une chaîne plus petite et contenue dans le maillon, et on réitère le processus indéfiniment. L'ensemble obtenu est un alors ensemble de Cantor (homéomorphe à l'ensemble triadique de Cantor), mais son plongement dans l'espace n'est pas homéomorphe au plongement de l'ensemble triadique. Son complémentaire dans l'espace n'est pas simplement connexe. Ce dessin a été réalisé avec MAPLE. |
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Cylindres d'Ecalle C'est beau, n'est-ce pas ? |
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D'autres cylindres d'Ecalle |
