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===== Equations de Stokes et de Navier-Stokes incompressibles =====

<panel type="success" title="Documents">

  * {{:enseignements:cours_fb_m2ns.pdf|Résumé du cours}} 
  * {{:enseignements:examen_m2ns_1213.pdf|Sujet de l'examen de Janvier 2013}} et son {{:enseignements:correction_examen_m2ns_1213.pdf|corrigé}}

</panel>

<panel type="info" title="Références">

Le cours est principalement basé sur le contenu des ouvrages suivants:

  * <php> $ref['auteurs']='F. Boyer, P. Fabrie';
          $ref['titre']= "Eléments d'analyse pour l'étude de quelques modèles d'écoulements de fluides visqueux incompressibles";
          $ref['ref'] = "Mathématiques et Applications Vol. 52, 405 p., Springer (2006)";
          $ref['lien'] = "http://www.springer.com/mathematics/dynamical+systems/book/978-3-540-29818-2";
          article2($ref); </php>
  * <php> $papier['auteurs'] = 'F. Boyer, P. Fabrie';
          $papier['titre']   = "Mathematical tools for the study of the incompressible Navier-Stokes equations and related models";
          $papier['ref']     = 'Applied Mathematical Sciences, vol. 183, Springer (2013)';
          $papier['fichier'] = '';
          $papier['lien']    = 'http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4614-5975-0';
          article2($papier); </php>


Autres références à consulter :

  * <php> $papier['auteurs'] = 'H. Brézis';
          $papier['titre']   = "Analyse fonctionnelle";
          $papier['ref']     = 'Collection Mathématiques appliquées pour la maîtrise, Masson (1983)';
          article2($papier); </php>
  * <php> $papier['auteurs'] = 'F. Demengel et G. Demengel';
          $papier['titre']   = "Espaces fonctionnels, utilisation dans la résolution des équations aux dérivées partielles";
          $papier['ref']     = "Savoirs actuels, EDP Sciences (2007)";
          article2($papier); </php>
  * <php> $papier['auteurs'] = 'P. Dreyfuss';
          $papier['titre']   = "Introduction à l'analyse des équations de Navier-Stokes";
          $papier['ref']     = "Editions ellipses (2001)";
          article2($papier); </php>
  * <php> $papier['auteurs'] = 'R. Temam';
          $papier['titre']   = "Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis; reprint of the 1984 edition";
          $papier['ref']     = "AMS Chelsea, Providence, RI (2001)";
          article2($papier); </php>

</panel>

<panel type="success" title="Déroulement du cours">

<grid>
<col sm="2"></col>
<col sm="8">

<accordion>

<panel type="primary" title="Séance 1" subtitle="7 Nov. 2012">
  * **Chapitre 1** : Présentation des équations de la méca flu
    * Notion de milieu continu. Densité, flot, champ de vitesse.
    * Théorème du transport
    * Equations de bilan : conservation de la masse, de la quantité de mouvement, du moment cinétique, de l'énergie
    * Théorème de Cauchy : tenseur des contraintes. Symétrie du tenseur des contraintes. Flux de Fourier
    * Fluides Newtoniens : notion de viscosité

</panel>

<panel type="primary" title="Séance 2" subtitle="9 Nov. 2012">

  * **Chapitre 1 (suite et fin)**
    * Notion d'écoulement incompressible : limite faible Mach et pression "incompressible"
    * Présentation de la hiérarchie de modèles étudiés dans ce cours. Conditions aux limites
  * **Chapitre 2** : Espaces de Sobolev et autres outils d'Analyse fonctionnelle
    * Définition des espaces de Sobolev $W^{m,p}(\Omega)$, $W^{m,p}_0(\Omega)$ dans un domaine borné, régulier de $\mathbb{R}^d$, d=2 ou 3
    * Premières propriétés : densité des fonctions régulières, théorème de prolongement
    * Traces, espace de traces, théorème de relèvement de la trace, caractérisation de $W^{1,p}_0$ par la trace

</panel>

<panel type="primary" title="Séance 3" subtitle="21 Nov. 2012">

  * **Chapitre 2 (suite)**
    * Quelques mots sur la théorie des distributions
    * Dualité dans les Sobolev
    * Injections de Sobolev et inégalités de Poincaré
    * Le problème de Laplace avec terme source $H^{-1}$ et conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes :
      * Existence et unicité par Lax-Milgram
      * Théorème de régularité elliptique

</panel>

<panel type="primary" title="Séance 4" subtitle="22 Nov. 2012">

  * **Chapitre 2 (suite et fin)**
    * Le problème de Laplace avec conditions aux limites de Neumann non-homogènes :
      * Conditions de compatibilité sur les données
      * Existence et unicité par Lax-Milgram
      * Théorème de régularité elliptique
  * **Chapitre 3 : Le problème de Stokes**
    * Introduction
    * Inégalité de Nečas (preuve dans $R^d$ et dans le demi-espace; admis pour un domaine borné)
    * Inégalités de Poincaré dans $H^{-1}$

</panel>

<panel type="primary" title="Séance 5" subtitle="28 Nov. 2012">

  * **Chapitre 3 (suite)**
    * Théorème de de Rham
    * Inverse à droite de la divergence; liens avec l'inégalité inf-sup
    * Les espaces de fonctions à divergence nulle
    * Résolution du problème de Stokes avec données homogènes et non-homogènes
</panel>


<panel type="primary" title="Séance 6" subtitle="5 Déc. 2012">

  * **Chapitre 3 (suite et fin)**
    * L'opérateur de Stokes. Fonctions propres de l'opérateur
    * Théorème de régularité elliptique pour le problème de Stokes
    * Le problème de Stokes avec conditions aux limites de Neumann
  * **Chapitre 4 : Les équations de Navier-Stokes**
    * Remarques préliminaires sur les difficultés liées à la non-linéarite
    * Existence de solutions stationnaires à tout Reynolds (par Galerkin + Brouwer) pour des conditions de Dirichlet homogène.


</panel>


<panel type="primary" title="Séance 7" subtitle="14 Déc. 2012">

  * **Chapitre 4 (suite)**
    * Fin de la preuve d'existence pour NS stationnaire : utilisation de la compacité
    * Existence de la pression + quelques mots sur la régularité et l'unicité des solutions
    * Outils d'analyse fonctionnelle pour NS non-stationnaire (Intégrale de Bochner et Lemme d'Aubin-Lions-Simon)
    * Définition des solutions faibles de NS et énoncé du théorème de Leray

</panel>

<panel type="primary" title="Séance 8" subtitle="23 Jan. 2013">


  * **Chapitre 4 (suite et fin)**
    * Preuve du théorème de Leray
      * Construction de la solution approchée par Galerkin
      * Estimations d'énergie + estimation des dérivées en temps
      * Justification du passage à la limite
      * en 2D : preuve de l'identité d'énergie et de l'unicité des solutions faibles.

</panel>

</accordion>
</col></grid>

</panel>