Cours de Calcul Différentiel, Licence
2, 2004/5
Description du module
Nom complet : Unité d'Enseignement 8 - Calcul
différentiel
Abréviation : UE08, CAL.DIFF.
Module de : Licence 2° Année
Bac+ : 2
Semestre : II
Année : 2004 / 2005
Description : Calcul différentiel :
- Topologie de R^n
- Limites, continuité,
- Différentielles, dérivées directionnelles et partielles
- Accroisements finis, Taylor, extrema
- Fonctions implicites, introduction aux courbes et aux surfaces de R^3
- Intégrales curvilignes, doubles, triples, de surfaces
- Analyse vectorielle
Programme détaillé
Notions élémentaires de topologie (de R^n): Espaces métriques, espaces
normés, espace topologiques. Continuité. Ensembles compacts de R^n.
Dérivées partielles, dérivées directionnelles. Théorème de Schwarz.
Fonctions de classe C^k.
Différentielles. Compositions de différentielles, représentation
matricielle: matrice Jacobienne et gradient. Dérivées partielles et
différentiabilité. Théorèmes d'accroisements finis.
Formules de Taylor.
Théorème des fonctions implicites et d'inversion locale.
Courbes et surfaces dans R^3. Classification de coniques et quadriques.
Intégrale attachée à une courbe.
Intégrales curvilignes (dans R^n). Changement de variables. Problème de
différentielles exactes, différentielles exactes et fermées.
Longueur d'un arc.
Intégrales doubles. Calcul des intégrales doubles. Formule de Riemann.
Changement de variables dans une intégrale double.
Aire d'un domaine dans R2.
Intégrale attachée à une surface. Aire d'une portion de surface.
Élément linéaire et élément d'aire d'une surface. Exemples: coordonnées
sphériques et cylindriques, surface de révolution.
Formule de Stokes.
Intégrales triples. Volumes. Formules de Stokes et changement de
variables, formules intégrales d'analyse vectoriel.
Cours de Calcul Différentiel, Licence
2, 2005/6
1) Espaces normés et espace métriques associés : ouverts, fermés,
suites et continuité dans un espace métrique, équivalence entre les
normes de R^n (admis)
2) Dérivées partielles, matrice Jacobienne, théorème de Schwarz,
fonctions de classe C^k
3) Différentielles: composition de différentielles, dérivées partielles
et différentiabilité, représentation de différentielles, accroissements
finis
4) Formule de Taylor, conditions d'optimalité de second ordre
5) Fonctions implicites, Théorème d'inversion locale
6) Introduction aux courbes et aux surfaces de R^3: droite
et plan
tangent
7) Notions sur la théorie de l'intégrale de Riemann.
8) Calcul des intégrales multiples: Théorème de Fubini, changement de
variable. Aire d’une surface plane et volume d‘un solide.
9) Formes différentielles d’ordre un, intégrale curviligne, Formule de
Green -
Riemann, problème de
différentielles exactes. Longueur d'une courbe. Aire d'une
surface dans R^3.
littérature:
J. Bass, Cours de Mathématiques, tome 1, Masson, 1964.
Lelong-Ferrand, Arnaudiès, Cours de Mathématiques, Tome 2, Analyse,
Dunod, 1977.
F. De Thelin, Calcul Différentiel, Cours manuscrit de 2004, Toulouse.
Feuilles d'exercices : 1, 2 ,3, 4, 5,
6, 7
7 feuilles d'exercices en format pdf
Examens: Mars 2003, Avril 2004, Juin
2004, Séptembre 2004, Mars 2005, Mai 2005
+ Corrigé,
Septembre 2005 + Corrigé,
Contrôle partiel du 20 Mai 2006 avec
corrigés
Examen terminal du 20 Juin 2006 avec
corrigés + dessin
Examen de Septembre 2006 avec
corrigé
Vous pouvez trouver d'autres exercices dans la bibliothèque de
Arnaud Bodin http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exercice.html
Quelques Notes de Cours
Notions élémentaires de Topologie
Formules de Taylor
Théorèmes d'inversion locale et de
fonctions implicites