CalcDiff

L6MFCM : Calcul Différentiel, (24h de cours, 36h de TD) 6 ECTS
Licence 3, semestre 6, année 2009/2010
Ce module fait suite à un module d'un intitulé voisin en L2 ; le contexte est plus général ici, c'est celui des espaces vectoriels normés (de dimension infinie).

devoir 1 : le 18 fevrier, à rendre le 25 fevrier (Kapoudjian)
devoir 2 : le 15 mars, à rendre le 22 mars (Gavrilov)

Examen terminal du 21 mai 2010
Examen du 23 Juin 2010, deuxième session

Les notes de devoir comptent pour 1 ECTS.

Programme (24h)

1) Différentielles: propriétés, représentation matricielle
(jacobienne) en dimension fini. Différentiation des fonctions composées. Composition des différentielles.
2) Applications linéaires. Applications de classe C¹
3) Différentielles partielles. Théorèmes des accroissements finis.
4) Théorème du point fixe.
5) Théorème d'inversion locale.
6) Théorème des fonctions implicites. Différentielles d'ordre supérieur: différentielles secondes.
Examen partiel.
Notes de cours : séctions 1 à 6.
7) Théorème de Schwarz. Différentielles d'ordre supérieur. Formule de Taylor-Young (avec reste o(||h||^k).
Formule de Taylor avec reste intégral. Cas spécial de dimension finie.
8) Introduction aux sous-variétés de R^n. Théorème du rang (une application f:: R^m->R^n de rang constant est conjuguée à sa partie linéaire).
Submersion et Immersion.
9) Représentation locale par des équations (submersion) ou des paramétrages (immersion).
10) Espace tangent d'une sous-variété.
11) Problèmes d'extrema :
Extremum libre: conditions nécessaires de premier et second ordre dans un espace normé. Conditions suffisantes du second ordre dans un espace de dimension finie.
Extremum lié : Théorème de Lagrange (extremum de la réstriction d'une fonction sur une sous-variété, multiplicateurs de Lagrange).
fin du programme 2008/2009
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12) Elements de calcul de variations: équation d'Euler-Lagrange : sujet non-traité en cours.

Littérature:
J.-B. Hiriart-Urruty, Notes de Cours "Calcul différentiel-Equations Différetielles", UPS 1998.
H. Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, 1967.
F. Rouvière, Petit guide de Calcul Différentiel à l'usage de la licence et de l'agregation, Cassini, 2003.
D. Azé , G. Constans, J.-B. Hiriart-Urruty, Calcul différentiel et équations différentielles pour la licence: Problèmes corrigés, Dunod 2002.
E. Hairer, Calcul différentiel-Equations Différetielles, Université de Genève, 1999.
G. Comte, Calcul différentiel-Equations Différetielles, Université de Nice, 2000-2004.
+ Annales 2000-2004

Feuilles d'exercices 2008/2009

Devoir 1 (à rendre la semaine du 26.01.2009)
Feuille 1
Feuille 2 (Différentiabilité et accroissements finis)
Feuille3.ps
Feuille 4
Feuille 5
Feuille 6

Examen terminal du 27 mai 2009
Examen du 24 juin 2009 (rattrapage)
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Vous pouvez trouver d'autres exercices dans la bibliothèque de
Arnaud Bodin http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exercice.html

Sujets d'examen et devoirs

2006/2007

Programme (36h))

1) Fonctions différentiables. Différentiation des fonctions composées.
Différentielles partielles.
devoir
2) Théorèmes des accroissements finis ou des valeurs moyennes.
3) Théorème du point fixe. Théorèmes d'inversion locale, des fonctions implicites.
4) Différentielles d'ordre supérieur ; applications de classe C^p.
Formules de Taylor.
exament partiel
5) Introduction aux sous-variétés de R^n (cas particuliers des courbes et des surfaces). Sous-espace tangent, normal. Représentation locale par des équations ou des paramétrages.
devoir
6) Problèmes d'extrema : problèmes sans contrainte, problèmes avec
contraintes.
7)Equations différentielles:
Théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, dépendance des conditions initiales et des paramètres. intégrales premières.
Equations différentielles linéaires. Résolvante. Wronskien. Méthode de variation des constantes. Equations à coefficients constants.

Feuille 6

8) Elements de calcul de variations: équation d'Euler-Lagrange.

Devoir 1
Correction du devoir 1

Devoir 2 + Erratum
Correction du Devoir 2

Examen partiel du 30 mars 2007

Examen terminal du 29 mai 2007

Examen du 7 septembre 2007

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