Courbes Algébriques et Intégrales Abéliennes (cours de Master 2 - 2008/9)

Résumé :

La première partie du cours (24h)  est une introduction à la théorie des courbes algébriques, destinée à un public non-spécialisé. Nous utiliserons des méthodes analytiques et géométriques (et nous ne parlerons pas d'algèbre commutative, théorie des faisceaux, co-homologie etc.).

Dans la deuxième partie du cours (12h) nous étudions des familles des courbes algébriques et leurs périodes (intégrales abéliennes).

COURBES ALGÉBRIQUES ET INTÉGRALES ABÉLIENNES

Courbes algébriques planes, surfaces de Riemann, fonctions, applications et différentielles méromorphes
Surface de Riemann d'une courbe algébrique, formule de Riemann-Hurwitz, formule du genre
Théorème de Riemann-Roch
Théorème d'Abel
Introduction au 16ème problème de Hilbert infinitesimal (zéros des intégrales abéliennes)
Intégrales abéliennes, équations de Picard-Fuchs, représentation de monodromie

Références

[1] "Introduction to Algebraic Curves", P. A. Griffiths, AMS, 1989.
[2]"Algebraic Curves and Riemann Surfaces", R. Miranda, AMS, 1995.
[3]"Principles of Algebraic Geometry", P. A. Griffiths, J. Harris --  Wiley, New York
[4] "A scrapbook of complex curve theory", C.H. Clemens, Plenum Press, 1980.
[5] On the number of zeros of Abelian integrals, G. Benyamini, D. Novikov, S.Yakovenko, 2008, arXiv:0808.2952

Courbes Algébriques : programme de l'examen
1. Différentielles holomorphes et méromorphes sur une surface de Riemann. Théorème des
résidus.
2. Formule de Poincaré-Hopf.
3. Structure locale d'une courbe algébrique. Polynôme de Weierstrass.
4. Surface de Riemann d'une courbe algébrique. Théorème de normalisation.
5. Théorème de Bezout : diviseurs, indice d'intersection.
6. Théorème de Riemann-Hurwitz et la formule de genre d'une courbe plane.
7. Le Théorème de Riemann-Roch.
8. Courbes elliptiques.
9. Courbes hyperelliptiques et application canonique. Courbes de genre g = 2,3.
10. Intégrales abéliennes, équations de Picard-Fuchs.

Examen de Janvier 2009.
Examen de Juin 2009.