Image map created by yEd

Licence de Mathématiques

NIVEAU 2

Théorie de l'algèbre linéaire ( sur k=R ou C )

1. Application linéaire : généralités
2. Application linéaire en dimension finie.
3. Matrice d'une application linéaire.
4. Réduction des endomorphismes.
diagonalisation, trigonalisation & applications.

56h

Acquisition de deux notions essentielles en analyse :
les séries numériques et leurs comportements asympotiques
ainsi que la théorie de l'intégration de Riemann.

1. Séries numériques
Critères de convergences, famille sommable, produit de Cauchy...
2. Integrale de Riemann

56h

Acquérir des rudiments de calcul différentiel et de topologie.

1. Continuité et éléments de topologie dans R^n.
2. Calcul différentiel
fonction C^k, différentielle, théorème de Schwarz, point critique

56h

Définir différents modes de convergence de suites et séries de fonctions,
rôle de la convergence uniforme pour la stabilité des propriétés
des fonctions par passage à la limite,
développement en série entière d'une fonction.

1. Suites de fonctions
2. Séries de fonctions
3. Séries entières
4. Séries de Fourier

56h

Introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires
avec des exemples de résolutions explicites.
Théorie linéaire générale.
Apprendre à dessiner une courbe plane à partir de sa paramétrisation.
Intégrale multiple par une approche élémentaire et tournée vers les calculs.

1. Equation différentielle ordinaire.
2. Courbes paramétrées
3. Intégrales doubles.
4. Formule de Green-Riemann en dimension 2.

56h

Compléments de topologie et de calcul différentiel
(Théorème du point fixe, inversion locale …) visant
un accès à un module de théorie approfondie
des équations différentielles ordinaires.
Dessiner une courbe paramétrées à partir de sa paramétrisation.
Calcul technique d'intégrales multiples.

1. Complément de calcul différentiel en dimension finie.
2. Courbes paramétrées
3. Intégrale multiple
4. Formule de Green Riemann en dimension 2

56h

Introduction à la théorie moderne des probabilités
et à son axiomatisation.

1. Espace de probabilités dénombrables
2. Statistique élémentaire
3. Eléments de théorie de l'information
4.Chaines de Markov à espace d'état fini

56h

Théorie fine de la réduction des endomorphismes dans diverses situations.

1. Espace euclidien
2. Endormorphismes des espace euclidiens.
3. Espaces hermitiens.
4. Formes quadratiques dans les espace euclidiens

56h

NIVEAU 1

Programme d’analyse de la spécialité mathématiques du
baccalauréat.

1. Suites numériques
2. Fonctions
3. Calcul différentiel

56h

Fondamentaux "techniques" de l'algèbre linéaire.

1. Systèmes linéaires
2. Matrices
3. Déterminant
4. R espaces vectoriels
5. Exemples d'applications linéaires.

56h

Introduction à l'analyse réelle.

1. Majorer, minorer.
2. Suites numériques
3. Fonctions continues et dérivables

56h

Quelques éléments de bases pour la construction
du savoir mathématique

1. Elements de logique
2. Relations
3. Arithmétiques
4. Nombres complexes

56h

Reprise et approfondissements des concepts
introduits dans le module Math1-Bases2

1. Construction des ensembles de nombres.
2. Ensemble dénombrables.
3. Arithmétique
4. Introduction à l'étude des espaces de probabilités.
5. introduction à la théorie des graphes.

56h

Introduction à l'analyse réelle.

1. Généralités sur les fonctions
2. Nombre complexe
3. Limites, dérivées et primitives.

56h

ALEATOIRE

Donner une vue d'ensemble de la théorie de la mesure et de l'intégration.
Vocabulaire commun à l'analyse et à la théorie des probabilités.

1. Limite de l'intégrale de Riemann
2. Espace mesurable
3. Mesure
4. Fonctions mesurables
5. Intégrales des fonctions positives
6. Intégrales des fonctions quelconques
7. Continuité des intégrales dépendant d'un paramètres.
8. Mesure produit.
9. Théorème de transfert
10. Espace L^p
11. Produit de convolution.
12. Transformation de Fourier dans L1
13 Théorie des probabilités ( introduction )

56h

Approfondir quelques notions probabilistes très utiles
pour les simulations numériques stochastiques et les applications statistiques.
Ces notions sont illustrées concrètement par simulation sur Python.

1. Simulation de variables aléatoires.
2. Chaine de Markov
3. Théorèmes limites
4. Statistiques

56h

Group 13

Maîtrise des notions, raisonnements et résultats de base en probabilités ;
apprentissage du cadre à densité ; preuves de la LGN et du TCL ;
applications en statistique d'échantillonnage ;
compétence élémentaire en modélisation aléatoire.

1. Probabilités
- variables aléatoire continues.
- convergence
2. Théorèmes limites
- loi des grands nombres, théorème central limite.

56h

Maîtrise raisonnable des notions, raisonnements et résultats de base en probabilités continues ;
Utilisation de la LGN et du TCL en statistique d'échantillonnage ;
Compétence élémentaire en modélisation aléatoire (il faut beaucoup d'exemples et peu de preuves longues).

1. Probabilités
- Variables aléatoires continues
- Couple de densité
2. Statistiques
- Echantillons
- Convergence de la moyenne

56h

Régression linéaire multiple, analyse de variance, analyse de covariance.

Variable alétoire discrète et continue (loi, espérance, variance) ;
Convergence en probabilité et convergence en loi ;
Loi des grands nombres et théorème central limite ;
Vraisemblance, estimation et estimateur ; Intervalles de confiance ;
Tests bivariés.

1. Observations de variables couplées.
2. Modèle linéaire gaussien.
3. Test d'hypothèses
4. Régression linéaire
5. Analyse de variance.
6. Analyse de covariance.
7. Plans d'expériences.

56h

Modèle statistique dans le cas indépendant et identiquement distribué,
vraisemblance, estimateur, estimation ponctuelle
et par intervalle de confiance, tests paramétriques et non-paramétriques

1. Modèle statistique
2. Estimation
3. Intervalle de confiance
4. Test paramétrique
5. Test paramétrique classique
6. Qq test non paramétriques.

56h

Régression linéaire multiple, analyse de variance, analyse de covariance.

Variable alétoire discrète et continue (loi, espérance, variance) ;
Convergence en probabilité et convergence en loi ;
Loi des grands nombres et théorème central limite ;
Vraisemblance, estimation et estimateur ; Intervalles de confiance ;
Tests bivariés.

1. Observations de variables couplées.
2. Modèle linéaire gaussien.
3. Test d'hypothèses
4. Régression linéaire
5. Analyse de variance.
6. Analyse de covariance.
7. Plans d'expériences.

56h

Base du Machine Learning

1. Problème d'apprentissage
2. Problématique de l'apprentissage artificiel
3. Validation d'algorithme d'apprentissage
4. Arbre de décision
5. Apprentissage bayésien naïf
6. K plus proches voisins
7. Perceptron
8 SVM

56h

ANALYSE

Topologie des espaces métriques, espaces de Banach Analyse hilbertienne

1. Espace métrique, espace vectoriel normé, espace préhilbertien
2. Espace métrique complet, de Banach, de Hilbert
3. Compacité ( dans les espaces métriques )
4. Analyse hibertienne
5. Série de Fourier ( cadre général )

56h

Introduction à l'analyse de Fourier

1. Introduction
2. Transforméede Fourier
3. Passage au discret
4. Introduction à l'analyse temps fréquence.

56h

Introduction à l'analyse complexe

Etude qualitative des solutions du'une équation différentielle ordinaire depuis le théorème de Cauchy-Lipschitz.

1. EDO
2. Points stationnaires d'un système linéaire.

56h

- Connaissance des méthodes d'interpolation et de calcul approché
d'intégrales et les erreurs d'approximation correspondantes,
implémentation en Python
- Notions de modélisation de problèmes issus de la mécanique, biologie, chimie par exemple.
- Connaissance des schémas de résolution d'EDOs classiques : Euler explicite et implicite, Heun,
Crank-Nicolson, Méthodes multi-pas, Runge Kutta et leur implémentation en Python
- Ordre de consistance par les formules de Taylor, stabilité (lemme de Gronwall discret), ordre de convergence

1. Interpolation de Lagrange
2. Intégration numérique
3. Notion de modélisation par EDO
4. Approximation des solutions
5. Méthode d'ordre élevé
6. Complément de cours

56h

Présenter les bases de l'analyse numérique, en particulier dans l'idée
de les appliquer à des problèmes de résolution de grands systèmes
d'équations et des problèmes de type systèmes d'équations différentielles.
Modélisation.
Preuves de convergence de méthodes numériques.

1. Systèmes linéaires
2. Résolution de système non linéaires.
3. Analyse des EDO

56h

Introduction à la théorie des espaces de Hilbert

1. Produit scalaire et hermitien et espace euclidien
2. Complétude d'un espace normé
3. Espace de Hilbert
4. Bases hilbertiennes
5. Séries de Fourier
6. Opérateurs entre espace de Hilbert

56h

Introduction à l'analyse complexe

ALGEBRE

Introduction à l'histoire des mathématiques fondée sur l'étude critique des textes mathématiques historiques.

1. La géométrie grecque
2. Algèbre entre arithmétique et géométrie
3. Naissance de la théorie des probabilités.
4. Vers l'analyse

56h

Se familiariser avec des exemples élémentaires de groupes et d'anneaux,
tels que groupes symétriques, groupes cycliques, anneaux de polynômes
Traiter quelques points théoriques qui ne nécessitent pas
les notions d'action de groupe, de groupe quotient ou d'anneau quotient.

1. Objet de base
2. Groupes
3. Anneaux

56h

Introduction aux techniques plus avancées comme le vocabulaire des actions de groupes,
la notion de groupe ou d'anneau quotient,
et la notion d'irréducibilité dans les anneaux de polynômes.

1. Idéaux et anneaux quotients
2. Anneaux factoriels
3. Groupes quotiens et produits de groupes
4. Actions de groupes
5. Compléments

56h

Ttour d’horizon de différentes méthodes combinatoires autour de deux grands thèmes,
la théorie des graphes et la théorie des nombres.

1. Combinatoire
2. Graphe
3. Théorie de nombres
4. Compléments

56h

introduction à l'algorithmique et à la programmation sous Python.
Son objectif principal est double : familiariser l'étudiant avec les notions essentielles de l'algorithmique,
afin de le sensibiliser à la nécessité de réfléchir au code avant de programmer,
et apprendre à programmer efficacement en Python.

1. Introduction à l'algorithmique
2. Structure de données.
3. Algorithmique pour l'algèbre linéaire numérique

56h

L'objectif de cette UE est de présenter les deux approches classiques
de la géométrie du plan.
La première procède de l'axiomatisation rigoureuse de la géométrie élémentaire
proposée par Hilbert dans les Fondements de la Géométrie.
La seconde s'appuie sur l'algèbre linéaire et la notion d'espace affine.

1. Géométrie de Hilbert
2. Géométrie affine
3. Construction à la règle et au compas
4. Géogebra

56h

L'objectif de cette UE est multiple :
- apprendre à comprendre puis modéliser des situations concrètes
- s'entraîner à la formalisation de raisonnements et à leur rédaction
- mettre en oeuvre de façon très concrète quelques outils vus en analyse, en algèbre linéaire, en probabilités

Ttour d’horizon de différentes méthodes combinatoires autour de deux grands thèmes,
la théorie des graphes et la théorie des nombres.

1. Combinatoire
2. Graphe
3. Théorie de nombres
4. Compléments

56h

L'objectif de cette UE est de présenter les deux approches classiques
de la géométrie du plan.
La première procède de l'axiomatisation rigoureuse de la géométrie élémentaire
proposée par Hilbert dans les Fondements de la Géométrie.
La seconde s'appuie sur l'algèbre linéaire et la notion d'espace affine.

1. Géométrie de Hilbert
2. Géométrie affine
3. Construction à la règle et au compas
4. Géogebra

56h

Introduction à l'histoire des mathématiques fondée sur l'étude critique des textes mathématiques historiques.

1. La géométrie grecque
2. Algèbre entre arithmétique et géométrie
3. Naissance de la théorie des probabilités.
4. Vers l'analyse

56h