Module Math1-AlgLin1 : Algèbre 1
Table of Contents
- 1. Prérequis
- 2. Objectifs d'apprentissage
- 3. Description des enseignements
- 4. Références
1 Prérequis
Module Math0-Bases1 ou spécialité mathématiques en terminale
2 Objectifs d'apprentissage
Acquérir les fondements de l'algèbre linéaire.
3 Description des enseignements
3.1 Deux TPs prévus
- Algorithme du pivot de Gauss
- Décomposition LU
- Calcul d'inverse
- Calcul de déterminants
3.2 Systèmes linéaires
3.2.1 Définition et généralités :
- différentes écritures d'un système, écriture sous forme de tableau,
- systèmes homogènes, second membre,
- systèmes équivalents, ensemble des solutions
3.2.2 Résolution théorique :
- résolution d'un système homogène : ensemble des solutions non vide, stable par combinaison linéaire,
- structure de l'ensemble des solutions d'un système avec
second membre;
- interprétation géométrique en petites dimensions
3.2.3 Algorithme du pivot de Gauss
- Transformations élémentaires, systèmes équivalents via opération
- Algorithme du pivot de Gauss
- Rang d'un système (pas de démonstration d'invariance à ce niveau)
3.3 Matrices
- Définition
- Opérations (somme, produit par un scalaire, produit de deux matrices, transposition, inverse)
- Ecriture matricielle d'un système linéaire
- Matrices élémentaires : applications
- Matrices échelonnées, bien échelonnées
- Rang d'une matrice (Démonstration d'invariance)
- Calcul d'inverse par pivot
- Décomposition LU
3.4 Déterminants de matrices
3.4.1 Définition du déterminant par récurrence.
3.4.2 Propriétés
- invariance par transposition
- caractère n-linéaire alterné ; effet des opérations élémentaires
- Multiplicativité du déterminant.
3.4.3 Calcul par
- Pivot de Gauss
- Développement par ligne ou colonne
3.4.4 Application à l'étude des matrices inversibles
- Caractérisation des matrices inversibles
- Comatrice, formules de Cramer pour les systèmes inversibles.
3.5 \(\mathbf{R}\)-Espaces vectoriels en dimension finie : exemples dans \(\mathbf{R}^n\) et dans \(\mathbf{R}[X]\)
- Définition -Exemples dans \(\mathbf{R}^n\) et dans \(\mathbf{R}[X]\).
- Sous-espaces vectoriels : définition.
- Combinaisons linéaires
- Familles libres, génératrices, bases
- coordonnées dans une base ; changement de base
- Théorème de la base incomplète,
- Dimension, rang d'une famille
- Déterminant d'une famille de vecteurs, volume d'un parallélotope
- Somme, intersection de sous-espaces vectoriels, dimension, formule de Grassmann
- Sommes directes de sous-espaces vectoriels.
3.6 Applications linéaires : exemples et exercices en dimension 1,2,3.
- Exemple fondamental : \(T_A: X \in \mathbf{R}^p \mapsto AX \in \mathbf{R}^n\) où \(A\) est une matrice \(n \times p\)
- Définition générale
- Projection, symétrie, rotation : en dim 2 et 3 (rotations seulement en dimension 2), on abordera ces exemples en affine.
- Noyau, Image, Théorème du rang
- Formule de changement de bases.
4 Références
Une introduction moderne à l'algèbre linéaire, Vincent Blanloeil, Éditions Ellipse.