Module Math1-AlgLin1 : Algèbre 1

Table of Contents

1 Prérequis

Module Math0-Bases1 ou spécialité mathématiques en terminale

2 Objectifs d'apprentissage

Acquérir les fondements de l'algèbre linéaire.

3 Description des enseignements

3.1 Deux TPs prévus

  • Algorithme du pivot de Gauss
  • Décomposition LU
  • Calcul d'inverse
  • Calcul de déterminants

3.2 Systèmes linéaires

3.2.1 Définition et généralités :

  • différentes écritures d'un système, écriture sous forme de tableau,
  • systèmes homogènes, second membre,
  • systèmes équivalents, ensemble des solutions

3.2.2 Résolution théorique :

  • résolution d'un système homogène : ensemble des solutions non vide, stable par combinaison linéaire,
  • structure de l'ensemble des solutions d'un système avec second membre;
    • interprétation géométrique en petites dimensions

3.2.3 Algorithme du pivot de Gauss

  • Transformations élémentaires, systèmes équivalents via opération
  • Algorithme du pivot de Gauss
  • Rang d'un système (pas de démonstration d'invariance à ce niveau)

3.3 Matrices

  • Définition
  • Opérations (somme, produit par un scalaire, produit de deux matrices, transposition, inverse)
  • Ecriture matricielle d'un système linéaire
  • Matrices élémentaires : applications
    • Matrices échelonnées, bien échelonnées
    • Rang d'une matrice (Démonstration d'invariance)
    • Calcul d'inverse par pivot
    • Décomposition LU

3.4 Déterminants de matrices

3.4.1 Définition du déterminant par récurrence.

3.4.2 Propriétés

  • invariance par transposition
  • caractère n-linéaire alterné ; effet des opérations élémentaires
  • Multiplicativité du déterminant.

3.4.3 Calcul par

  • Pivot de Gauss
  • Développement par ligne ou colonne

3.4.4 Application à l'étude des matrices inversibles

  • Caractérisation des matrices inversibles
  • Comatrice, formules de Cramer pour les systèmes inversibles.

3.5 \(\mathbf{R}\)-Espaces vectoriels en dimension finie : exemples dans \(\mathbf{R}^n\) et dans \(\mathbf{R}[X]\)

  • Définition -Exemples dans \(\mathbf{R}^n\) et dans \(\mathbf{R}[X]\).
  • Sous-espaces vectoriels : définition.
  • Combinaisons linéaires
  • Familles libres, génératrices, bases
  • coordonnées dans une base ; changement de base
  • Théorème de la base incomplète,
  • Dimension, rang d'une famille
  • Déterminant d'une famille de vecteurs, volume d'un parallélotope
  • Somme, intersection de sous-espaces vectoriels, dimension, formule de Grassmann
  • Sommes directes de sous-espaces vectoriels.

3.6 Applications linéaires : exemples et exercices en dimension 1,2,3.

  • Exemple fondamental : \(T_A: X \in \mathbf{R}^p \mapsto AX \in \mathbf{R}^n\) où \(A\) est une matrice \(n \times p\)
  • Définition générale
  • Projection, symétrie, rotation : en dim 2 et 3 (rotations seulement en dimension 2), on abordera ces exemples en affine.
  • Noyau, Image, Théorème du rang
  • Formule de changement de bases.

4 Références

Une introduction moderne à l'algèbre linéaire, Vincent Blanloeil, Éditions Ellipse.

Author: genzmer yohann

Created: 2021-11-19 ven. 14:40

Validate