Module Math1-Ana1 : Introduction à l'analyse réelle

Objectif principal : majorer, minorer, manipuler les max, min, inf, sup.

• Relation d’ordre sur R: Relation d'ordre sur R et opérations. Valeur absolue. Inégalité triangulaire. Intervalles de R. Parties majorées, minorées, bornées. Majorant, minorant ; maximum, minimum. Partie entière et inégalités sur la partie entière.
• Bornes supérieures/inférieures : Définition et propriétés de la borne supérieure/inférieure d'un ensemble.

Objectif principal : démontrer la convergence/divergence d'une suite en utilisant le théorème de monotonie ou via la définition avec les quantificateurs.

• Généralités sur les suites réelles (1h) : Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, monotone, strictement monotone.
• Limite d’une suite réelle (3h) : limite finie ou infinie (avec les quantificateurs), unicité de la limite. Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée mais la réciproque est fausse. Opérations sur les limites, stabilité des inégalités larges par passage à la limite mais ce n'est pas le cas pour les inégalités strictes. Si (u_n) converge vers l>0, alors u_n > 0 à partir d’un certain rang. Théorème des gendarmes. Théorèmes de divergence par minoration ou majoration.
• Suites monotones (1h) : Théorème de la limite monotone : toute suite monotone possède une limite finie ou infinie. Définition de suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
• Suites extraites (1h) : définition, si une suite possède une limite alors toutes ses suites extraites possèdent la même limite, valeur d'adhérence, théorème de Bolzano-Weierstrass (admis).
• Comparaison(2h) : petit o, grand O, équivalent, opérations licites et applications pour le calcul de limite
• Suites particulières (1h) : Suite arithmétique, géométrique. Suite arithmético-géométrique. Suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants. Suites définies par une relation de récurrence u_n+1 = f(u_n) (points fixes, cas où f est monotone)
• Suites complexes (1h) : Brève extension des définitions et résultats précédents aux suites complexes.

Objectif principal : montrer la continuité/dérivabilité d'une fonction par des théorèmes généraux ou via la définition, enlever des formes indéterminées en utilisant les développements limités.

• Limites et fonctions continues(4h) : limite finie ou infinie d'une fonction (avec les quantificateurs), limite à gauche et à droite, fonctions continues, prolongement par continuité, critères séquentiels, fonctions monotones et limite, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de la bijection continue, toute fonction continue sur un segment est bornée et admet un min et max.
• Comparaison(1h) : petit o et équivalent en un point fini ou infini.
• Dérivation(3h) : définition de la dérivabilité en un point, nombre dérivé, fonction dérivable sur un intervalle et dérivée d'une fonction, la dérivabilité entraîne la continuité. Dérivabilité à gauche, à droite. Opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées. Annulation de la dérivée en un point d'extremum, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, application à l'estimation de l'erreur d'interpolation entre une fonction et ses polynômes interpolateurs de Lagrange. Fonctions de classe C^k (pour k fini ou infini), opérations sur les fonctions de classe C^k, formule de Leibniz
• Développements limités et formules de Taylor (2h) : définition d'un développement limité à l’ordre n en un point d’une fonction en un point, unicité de ce développement, opérations sur les développements limités, formule de Taylor-Young, Taylor-Lagrange et en conséquence l'inégalité de Taylor-Lagrange. Développement limité à tout ordre en 0 de exp, sin, cos, sh, ch, x -> ln(1+x), x -> (1+x)^a, Arctan, et de tan à l’ordre 3. Utilisation des développements limités pour lever des formes indéterminées.

• Étude du comportement de suites récurrentes: u_n+1=f(u_n).
• Introduction aux développements limités et approximation de fonctions par des polynômes