Module Math1-Bases2 : Ensembles 1

Modules: Math0-Bases1 ou Spécialité Mathématiques en terminales

Introduire les notions de base sur les ensembles, relations, fonctions, analyse combinatoire. Faire la traduction formelle d’énoncés élémentaires en langage naturel, traduire formellement des propriétés classiques sur les fonctions. Aborder les différents types de raisonnement et de démonstrations mathématiques : raisonnement par contraposition, démonstration par récurrence, raisonnement par l’absurde. On illustrera ces notions à travers l'étude d’objets issus des mathématiques discrète. Un des objectifs centraux : comprendre la notion de borne supérieure.

• Notions de base en logique : Logique propositionnelle élémentaire, quantificateurs, table de vérité.
• Notions de base de raisonnement : raisonnement par récurrence, par disjonction, par l’absurde, contraposé, notion de contre exemple.
• Vocabulaire de la théorie des ensembles : inclusion, égalité de deux ensembles, double inclusion, intersection, réunion, complémentaire, lois de Morgan, ensemble des parties d’un ensemble, produit cartésien. . Illustration avec des ensembles de nombres . Illustration des propriétés vues sur les ensembles avec les langages sur un alphabet fini
• Fonctions et applications: domaine de définition, composition des applications, image directe, image réciproque, injection, surjection, bijection, application réciproque.
• Cardinalité des ensembles finis: principe des tiroirs, techniques de base de dénombrements (d'une réunion de parties, du complémentaire, cardinal d'un produit cartésien, de F^E, de P(E)),
• Relation binaire: vocabulaire, mode de représentation (diagramme sagittal), propriétés des relations, relations fonctionnelles.
• Relations d’ordre : majorants, minorants, plus grand élément, plus petit élément, borne supérieure, borne inférieure, ensemble bien ordonné. Fonctions et relation d’ordre : fonctions croissantes, décroissantes, fonctions majorées, minorées.
  • Exemples de relations d’ordre sur les mot: ordre préfixe, ordre lexicographique
  • Application à l’étude de la terminaison d’algorithme: notion de variant (illustrer par exemple avec l’algorithme de la division euclidienne).
  • Application au raisonnement: justification du raisonnement par récurrence.
  • Principe d’induction: construction de langage par induction, preuves par induction
• Arithmétique:
  • Division euclidienne des entiers, nombre premier, lemme de Gauss
  • PGCD et algorithme d’Euclide,
  • PGCD et PPCM vu comme relation d'ordre,
• Polynômes à coefficients réels ou complexes:

Résolution d’équations du second degré ,racine nieme

• Racines : multiplicité d’une racine, somme et produit des racines d’un polynôme,
• Factorisation d’un polynôme en connaissant certaines de ses racines. Théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
• Division euclidienne. Décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles dans R[X] et C[X].

• Mathématiques L1 : Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés, Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini
• Eléments de mathématiques discrètes, Louis Frécon
• Mathématiques discrètes et informatique, Huy-Xuong Nguyen, éd Masson
• Introduction à la théorie des nombres Jean-Marie De Koninck Armel Mercier