Module Math1-Bases3 : Ensembles 2
Table of Contents
1 Prérequis
Module Math1-Bases2
2 Objectif d'apprentissage
L’objectif de ce module est de reprendre les concepts introduits dans B2 et de les mettre en application au travers de différents thèmes des mathématiques.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Rappel sur les applications
3.2 Construction des ensembles de nombres
- Relations d'équivalences, relation d'ordre
- Loi interne compatible, exemple : Z/nZ
- Construction de Z et Q.
- Approches des constructions de R et C
3.3 Ensembles dénombrables: union et produit cartésien dénombrable d’ensembles dénombrables
- L'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Argument diagonal de Cantor.
- Exemples d’applications: nombres transcendents, existence de langage qui ne sont pas reconnus par un programme
- Le théorème de Cantor Bernstein sera proposé seulement en complément éventuel (DM etc)
3.4 Arithmétique :
- Rappel division euclidienne. Numération en base b. Application à la représentation d’entiers (naturels ou relatifs) sur 2ˆn bits
- Théorème de Bezout, théorème des reste chinois et petit théorème de Fermat
- Applications : cryptographie RSA
3.5 Introduction à l’étude des espaces de probabilité :
- Espace probabilisé : opérations sur les événements, axiomes de probabilités, exemples d’espaces probabilisés discrets (dont les univers finis muni de l’équiprobabilité et les répétitions d'expériences de Bernoulli), systèmes complets d'événements
- Cas de l'équiprobabilité: dénombrement avancé avec arrangement et combinaisons
- Probabilités conditionnelles : définition, événements indépendants, formules de Bayes, arbres de probabilité, exemple des tests médicaux/informatiques avec faux négatifs et positifs pour illustrer Bayes
- Variables aléatoires discrètes : définition comme fonction de Omega, loi d'une v.a., exemples
- Lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique (en profitant de la connaissance de la série géométrique).
4 Références
- Introduction aux mathématiques discrètes, Jiri Matousek, Jaroslav Nesetril éd Springer
- Introduction à la théorie des nombres Jean-Marie De Koninck Armel Mercier