Module Math1-Bases3 : Ensembles 2

Table of Contents

1 Prérequis

Module Math1-Bases2

2 Objectif d'apprentissage

L’objectif de ce module est de reprendre les concepts introduits dans B2 et de les mettre en application au travers de différents thèmes des mathématiques.

3 Descriptions des enseignements

3.1 Rappel sur les applications

3.2 Construction des ensembles de nombres

  • Relations d'équivalences, relation d'ordre
  • Loi interne compatible, exemple : Z/nZ
  • Construction de Z et Q.
  • Approches des constructions de R et C

3.3 Ensembles dénombrables: union et produit cartésien dénombrable d’ensembles dénombrables

  • L'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Argument diagonal de Cantor.
  • Exemples d’applications: nombres transcendents, existence de langage qui ne sont pas reconnus par un programme
  • Le théorème de Cantor Bernstein sera proposé seulement en complément éventuel (DM etc)

3.4 Arithmétique :

  • Rappel division euclidienne. Numération en base b. Application à la représentation d’entiers (naturels ou relatifs) sur 2ˆn bits
  • Théorème de Bezout, théorème des reste chinois et petit théorème de Fermat
  • Applications : cryptographie RSA

3.5 Introduction à l’étude des espaces de probabilité :

  • Espace probabilisé : opérations sur les événements, axiomes de probabilités, exemples d’espaces probabilisés discrets (dont les univers finis muni de l’équiprobabilité et les répétitions d'expériences de Bernoulli), systèmes complets d'événements
  • Cas de l'équiprobabilité: dénombrement avancé avec arrangement et combinaisons
  • Probabilités conditionnelles : définition, événements indépendants, formules de Bayes, arbres de probabilité, exemple des tests médicaux/informatiques avec faux négatifs et positifs pour illustrer Bayes
  • Variables aléatoires discrètes : définition comme fonction de Omega, loi d'une v.a., exemples
  • Lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique (en profitant de la connaissance de la série géométrique).

4 Références

  • Introduction aux mathématiques discrètes, Jiri Matousek, Jaroslav Nesetril éd Springer
  • Introduction à la théorie des nombres Jean-Marie De Koninck Armel Mercier

Author: Genzmer

Created: 2023-07-08 sam. 14:22

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