Module Math1-Calc1 : Fonctions et calculs 1
Table of Contents
1 Prérequis
Modules: Math0-Bases1 ou Spécialité Mathématiques en terminales Limites d’une suite; théorème des valeurs intermédiaires; fonctions de référence (polynômes, homographiques, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, logarithme népérien, sinus et cosinus); dérivation des fonctions de référence; dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient et d’une composée de fonctions dérivables; primitives des fonctions de référence; intégration par parties; Équations différentielles du premier ordre à coefficients constants.
2 Objectif d'apprentissage
Cette UE a pour objectif principal de perfectionner les compétences en calcul des étudiant·e·s qui arrivent à l’université. Il s'agit de s'aguerrir par la pratique à la mise en œuvre autonome de calculs: mémorisation des formules appropriées (dérivées, primitives, formules trigonométriques, limites); objectivation de la stratégie choisie; sélection pertinente des actions dans le cadre de calculs dirigés; détection efficace des erreurs.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Thème 1: Généralité sur les fonctions.
Domaine de définition, monotonie, image et image réciproque d’un intervalle, domaine de définition d’une fonction composée. Fonctions injectives, surjectives, bijectives. Existence d’une fonction réciproque. Exercices de calcul sur les éléments d’un ensemble (double inclusion, disjonction de cas, raisonnement par l’absurde, contraposition, etc…). Résolution d’équations et d’inéquations dans le cadre de la détermination du domaine de définition de la composée de fonctions de références mentionnées dans les prérequis.
3.2 Thème 2: Nombre complexe.
Corps des nombres complexes, conjugués, règles de calcul. Interprétation géométrique : module, argument (aspect géométrique: homothétie, translation, rotation – on passe pudiquement sur les similitudes générales). Exponentielle complexe (admise) Linéarisation d’expressions trigonométriques, formule de De Moivre.
3.3 Thème 3: Limites, dérivées et primitives.
Calcul de limites (factorisation, expression conjuguée, encadrement, sélection d’une formule et choix d’une stratégie calculatoire adaptée). Définition intuitive de la continuité en un point (f en continue en a si pour toute suite (xn) dans Df, f(xn) tend vers f(a)). Dérivation des fonctions composées et réciproques. Primitives et calcul intégral (reconnaissance de forme et ajustement des coefficients, IPP multiples, introduction au changement de variable). Intégration de tous les types d’éléments simples (décomposition hors programme). Fonctions de référence supplémentaires: fonctions exponentielles et puissances; tangente; réciproques des fonctions trigonométriques; fonctions hyperboliques et leurs réciproques. Le recours successif ou simultané à plusieurs théorèmes au sein d’un même calcul constitue une prise de contact avec le calcul dirigé et l’objectivation des choix: choix des théorèmes à appliquer; choix d’une forme factorisée ou développée; choix d’une ou plusieurs IPP;
4 Références
- Mathématiques L1 : Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés, Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini