Module Math1-MPS1 : Parcours Spécial Bases 1

nb: ces notions ont vocation à être revues tout au long des autres thèmes du semestre.

• Notions de base en logique : Logique propositionnelle élémentaire, quantificateurs, table de vérité.
• Notions de base de raisonnement : raisonnement par récurrence, par disjonction, par l’absurde, contraposé, notion de contre exemple.
• Vocabulaire de la théorie des ensembles : inclusion / appartenance, égalité de deux ensembles, double inclusion, intersection, réunion, complémentaire, ensemble des parties d’un ensemble, produit cartésien. Illustration avec des ensembles de nombres.
• Vocabulaire des applications: domaine de définition, composition, image directe, image réciproque, injection, surjection, bijection, application réciproque.

• Généralités sur les suites réelles: Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, monotone, strictement monotone.
• Limite d’une suite réelle : Limite finie ou infinie d’une suite. Unicité de la limite. Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée.
• Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Si (un) converge vers l>0, alors un > 0 à partir d’un certain rang. Théorème de convergence par encadrement. Théorèmes de divergence par minoration ou majoration.
• Suites monotones : Théorème de la limite monotone : toute suite monotone possède une limite. Théorème des suites adjacentes.

• Fonctions: domaine de définition, monotonie, injectivité, image et image réciproque d’un intervalle, fonctions majorées, minorées.
• Notion de limite d'une fonction, en un point a ou en +/- infini. Fonctions continues.
• Image d’un intervalle par une fonction continue : Théorème des valeurs intermédiaires. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
• Théorèmes de Rolle et des Accroissements Finis.
• Continuité et injectivité : Toute fonction continue injective sur un intervalle est strictement monotone. La réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est continue.
• Dérivabilité en un point, nombre dérivé. La dérivabilité entraîne la continuité. Dérivabilité à gauche, à droite. Dérivabilité et dérivée sur un intervalle. Opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées : combinaison linéaire, produit, quotient, composition, réciproque.
• Fonctions "classiques" avec leur dérivées: cos, sin, tan, exponentielles ax et logarithme népérien, fonctions hyperboliques cosh, sinh tanh, fonctions trigonométriques inverses arccos, arcsin, arctan.

• Primitives (définition, existence). Intégrale d’une fonction continue sur un segment [a;b]. Propriétés de l’intégrale: relation de Chasles, linéarité, comparaison, formule de la moyenne.
• IPP, changement de variable. Applications aux fonctions périodiques et aux fonctions paires et impaires.
• Calcul de primitives: primitives usuelles, de fractions rationnelles (nécessite éléments simples), de polynômes en sin et cos (nécessite la linéarisation)

• Cardinalité des ensembles finis: principe des tiroirs, techniques de base de dénombrements (d'une réunion de parties, du complémentaire, cardinal d'un produit cartésien, de FE, de P(E)), arrangements et combinaisons, coefficients binomiaux. Dénombrement, interprétation probabiliste dans le cas d’équiprobabilité

• Corps des nombres complexes, conjugués, règles de calcul. Ecriture algébrique et polaire. Exponentielle complexe (admise, car nécessite série entière).
• Interprétation géométrique : module, argument.
• Racines n-ièmes. Résolution d’équations du second degré à coefficients complexes.
• Linéarisation d’expressions trigonométriques, formule de Moivre, application au calcul de primitives.

• Polynômes à coefficients réels ou complexes.
• Racines : multiplicité d’une racine, somme et produit des racines d’un polynôme, factorisation d’un polynôme en connaissant certaines de ses racines. Théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
• Division euclidienne. Décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles dans R[X] et C[X].
• Fractions rationnelles: décomposition en éléments simples (preuve admise, ou seulement sur C ?), application au calcul de primitives.