Module Math2-Alg1 : Groupes et anneaux élémentaires
Table of Contents
1 Prérequis
Module Math1-Bases2, Math1-AlgLin1. Le module Math2-AlgLin2 est fortement recommandé - validé ou non.
2 Objectif d'apprentissage
Le but est de se familiariser avec des exemples élémentaires de groupes et d'anneaux, tels que groupes symétriques, groupes cycliques, anneaux de polynômes, et de traiter quelques points théoriques qui ne nécessitent pas les notions d'action de groupe, de groupe quotient ou d'anneau quotient. Ces dernières seront vues dans le module avancé Alg2.
Le cour part d'exemples qu'il conviendra de "dévisser" complètement :
- Groupes : Sn, Z/nZ, les groupes diédraux (n=3,4 du point de vue géométrique)
- Anneaux : Z/nZ, k[X]
L'objectif essentiel consiste à faire entrevoir l'intérêt des notions de groupes et d'anneaux.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Rappels et objets de base (2/3 semaines)
- Arithmétique modulaire : division euclidienne dans Z, relation de congruence mod n, représentants et opérations sur les résidus mod n, théorème chinois et systèmes de congruences
- Entiers et polynômes : division euclidienne dans K[X], algorithme d'Euclide et théorème de Bézout, lemme de Gauss, factorisation en polynomes irréductibles dans R[X]
- Permutations : définition, cycles, décomposition en cycles, écriture comme produit de transpositions, calcul de cardinaux (nombre de permutations, de transpositions…)
3.2 Groupes (7 semaines)
- Groupe symétrique : définition de groupe et groupe symétrique, ordre d'un élément et son calcul dans le groupe symétrique, sous-groupes et exemples dans le groupe symétrique (sous-groupes cycliques, stabilisateurs et fixateurs)
- Groupes cycliques : différents modèles (résidus modulo n, racines n-ièmes de l'unité, sous-groupes engendrés par une rotation d'angle 2pi/n, un n-cycle)
- Groupes dihédraux : description (aussi) par la notation complexe.
- Morphismes : définition, exemples (groupe cyclique vers sous-groupe engendré par un élément, inclusions de groupes symétriques, réduction modulo n des résidus modulo dn…), noyau et injectivité, isomorphismes (exemples : groupes cycliques, groupe des bijections d'un ensemble vers un groupe symétrique), conjugaison
- Morphisme signature : preuve de l'existence admise mais (éventuellement en TD) preuve de l'unicité d'un morphisme non trivial de Sn dans {+1,-1}
- Ensemble quotient d'un groupe par un sous-groupe : définition des classes à droite et à gauche, multiplicativité des cardinaux et théorème de Lagrange (application : petit théorème de Fermat)
- Exemples de groupes envisageables en TD : Z et ses sous-groupes, R, Rn, groupes de matrices (rotations du plan)
3.3 Anneaux (5 semaines)
- Définition d'anneau commutatif, unités, diviseurs et "diviseurs de 0", intégrité, corps, anneau Z/nZ et corps finis premiers
- Sous-anneaux et morphismes d'anneaux, corps des fractions d'un anneau intègre
- Anneaux euclidiens et théorème de Bézout, exemples : sous-anneaux de Q (en particulier nombres décimaux), quelques anneaux d'entiers quadratiques (au moins Z[i])
- Eléments irréductibles et premiers, équivalence dans les anneaux euclidiens, exemple d'anneau sans équivalence irréductible/premier
- Relations entre coefficients et racines (en caractéristique 0), polynômes symétriques et polynômes symétriques élémentaires (on admettra le théorème de décomposition générale et on fera "tourner" l'algorithme en TD sur quelques exemples)
4 Références
- Szpirglas: "Algèbre L3", chapitres 6,7,8,9,10
- Ramis - Warusfel: "Mathématiques tout en un pour la licence 2", II.1, II.2, II.7
- Félix Ullmer, Théorie des groupes