Module Math2-AlgLin2 : Algèbre linéaire 2

Table of Contents

1 Prérequis

Modules Math1-AlgLin1 et Math1-Bases2

2 Objectif d'apprentissage

Fondamentaux de la théorie de l'algèbre linéaire

3 Descriptions des enseignements

On se limitera au cas d'un corps \k=\R ou \C.

3.1 Applications linéaires

  • Définition et généralités
  • Composition des applications linéaires
  • Image directe et image réciproque d'un sous-espace
  • Noyau et image d'une application linéaire
  • Théorème du rang
  • Le \k-espace vectoriel \L(E,F)

3.2 Applications linéaires en dimension finie

  • Rang d'une application linéaire
  • Critères de in/sur/bijectivité
  • Équivalence entre inversibilité, injectivité et surjectivité dans le cas d'égales dimensions
  • Dimension de \L(E,F)
  • Espace dual
    • Base duale
    • Dualité hyperplans/noyaux
    • Dualité présentations d'un sev par équations/base
  • Déterminant d'un endomorphisme
    • interprétation en termes de volume (le déterminant d'un endomorphisme est le coefficient d'agrandissement des volumes)
    • multiplicativité

3.3 Matrice d'une application linéaire

  • matrice d’une composée ; matrice d’un isomorphisme
  • transformé d’un vecteur par une application linéaire
  • application linéaire canoniquement associée à une matrice

3.3.1 rang d'une matrice

  • rang de la transposée
  • sous-matrices
  • sous-matrices principales

3.3.2 changement de bases

  • matrices de passage
  • matrices semblables
  • matrices équivalentes
    • deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang (déjà démontré en AL1)
  • trace
  • déterminant

3.4 Réduction des endomorphismes

3.4.1 Valeurs propres et vecteurs propres

  • vocabulaire
  • somme directe des sous-espaces propres
  • endomorphismes diagonalisables
  • exemples (projections, symétries, transvections)

3.4.2 Polynôme caractéristique

  • définition, coefficients remarquables
  • valeurs propres et racines du polynôme caractéristique

3.4.3 Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

  • lemme des noyaux
  • valeurs propres et polynômes annulateurs
  • CNS de diagonalisabilité
  • diagonalisabilité et polynôme caractéristique
  • théorème de Cayley–Hamilton

3.4.4 Trigonalisation

  • définition
  • critère de trigonalisabilité en fonction du polynôme caractéristique
  • Sous-espaces caractéristiques

3.4.5 Applications

  • résolution d'équations différentielles linéaires
  • suites définies par récurrence linéaire

4 Références

  • Grifone, Algèbre linéaire (Cépaduès)
  • Monier, Algèbre (Dunod)

Author: genzmer yohann

Created: 2022-01-14 ven. 11:58

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