Module Math2-AlgLin2 : Algèbre linéaire 2
Table of Contents
1 Prérequis
Modules Math1-AlgLin1 et Math1-Bases2
2 Objectif d'apprentissage
Fondamentaux de la théorie de l'algèbre linéaire
3 Descriptions des enseignements
On se limitera au cas d'un corps \k=\R ou \C.
3.1 Applications linéaires
- Définition et généralités
- Composition des applications linéaires
- Image directe et image réciproque d'un sous-espace
- Noyau et image d'une application linéaire
- Théorème du rang
- Le \k-espace vectoriel \L(E,F)
3.2 Applications linéaires en dimension finie
- Rang d'une application linéaire
- Critères de in/sur/bijectivité
- Équivalence entre inversibilité, injectivité et surjectivité dans le cas d'égales dimensions
- Dimension de \L(E,F)
- Espace dual
- Base duale
- Dualité hyperplans/noyaux
- Dualité présentations d'un sev par équations/base
- Déterminant d'un endomorphisme
- interprétation en termes de volume (le déterminant d'un endomorphisme est le coefficient d'agrandissement des volumes)
- multiplicativité
3.3 Matrice d'une application linéaire
- matrice d’une composée ; matrice d’un isomorphisme
- transformé d’un vecteur par une application linéaire
- application linéaire canoniquement associée à une matrice
3.3.1 rang d'une matrice
- rang de la transposée
- sous-matrices
- sous-matrices principales
3.3.2 changement de bases
- matrices de passage
- matrices semblables
- matrices équivalentes
- deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang (déjà démontré en AL1)
- trace
- déterminant
3.4 Réduction des endomorphismes
3.4.1 Valeurs propres et vecteurs propres
- vocabulaire
- somme directe des sous-espaces propres
- endomorphismes diagonalisables
- exemples (projections, symétries, transvections)
3.4.2 Polynôme caractéristique
- définition, coefficients remarquables
- valeurs propres et racines du polynôme caractéristique
3.4.3 Diagonalisabilité et polynômes annulateurs
- lemme des noyaux
- valeurs propres et polynômes annulateurs
- CNS de diagonalisabilité
- diagonalisabilité et polynôme caractéristique
- théorème de Cayley–Hamilton
3.4.4 Trigonalisation
- définition
- critère de trigonalisabilité en fonction du polynôme caractéristique
- Sous-espaces caractéristiques
3.4.5 Applications
- résolution d'équations différentielles linéaires
- suites définies par récurrence linéaire
4 Références
- Grifone, Algèbre linéaire (Cépaduès)
- Monier, Algèbre (Dunod)