Module Math2-AlgLin3 : Algèbre linéaire 3

Table of Contents

1 Prérequis

Module Math2-AlgLin2

2 Objectif d'apprentissage

Le but du module est une étude fine des propriétés de réduction des endomorphismes dans divers contextes.

3 Descriptions des enseignements

3.1 Espaces euclidiens

  • Produits scalaires et normes sur un espace vectoriel réel de dimension finie
  • Coordonnées dans une base orthonormée, inégalité de Cauchy–Schwarz
  • Algorithme de Gram–Schmidt et existence de bases orthonormées
  • Orthogonalité de sous-espaces et somme directe orthogonale

3.2 Endomorphismes des espaces euclidiens

  • Isométries d'un espace euclidien et matrices orthogonales
  • Forme réduite d'une isométrie et d'une matrice orthogonale
    • classification en dimensions 2 et 3
  • Adjoint d'un endomorphisme et transposition, endomorphismes autoadjoints
  • Théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques
  • Endomorphismes autoadjoints positifs et décomposition polaire
  • Décomposition en valeurs singulières et applications (Horn, 2.6)

3.3 Espaces hermitiens

  • Produit scalaire hermitien
  • Isométries d'un espace hermitien et matrices unitaires
  • Endomorphismes autoadjoints, matrices hermitiennes et théorème spectral

3.4 Formes quadratiques dans les espaces euclidiens

  • Formes bilinéaires : définition, formes symétriques et leur représentation matricielle
  • Formes quadratiques, forme polaire
  • Signature des formes quadratiques
  • Algorithme de Gauss pour la réduction
  • Diagonalisation en base orthonormée, calcul effectif en dimension 2

4 Références

  • Grifone, Algèbre linéaire
  • Horn, Matrix analysis

Author: genzmer yohann

Created: 2021-11-19 ven. 14:40

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