Module Math2-Ana2 : Intégration et séries numériques

1. Prérequis
2. Objectif d'apprentissage
3. Descriptions des enseignements
4. Références

1 Prérequis

Module Math1-Ana1

2 Objectif d'apprentissage

Acquisition de deux notions essentielles en analyse : les suites numériques et leurs comportements asympotiques ainsi que la théorie de l'intégration de Riemann.

3 Descriptions des enseignements

3.1 SERIES NUMERIQUES (12h)

Préliminaires sur les suites numériques (3h) : Rappels sur les suites convergentes, les suites extraites. Énoncé et preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass et de la complétude de R.
Séries et sommes partielles (1h) : Notion de convergence, somme et reste d’une série numérique. Critère de Cauchy. Série harmonique.
Séries numériques à termes positifs (4h) : Exemple des séries géométriques. Théorème de comparaison, sommation des relations de comparaison (domination, négligeabilité, équivalence). Critère de convergence de D’Alembert, de Cauchy. Comparaison série-intégrale. Exemple des séries de Riemann.
Séries numériques à termes complexes (1h) : Séries absolument convergentes. Séries alternées.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

3.2 INTEGRATION de Riemann (12h)

Préliminaires sur les fonctions continues sur un segment (1h) : notion d'uniforme continuité et théorèmes de Heine. Définition d'une fonction continue par morceaux.
Intégrale de Riemann (3h) : 2 possibilités : Construction de l'intégrale de Riemann (on se limitera aux cas des fonctions continues par morceaux). Sommes de Riemann. Interprétation géométrique de l’intégrale. Propriétés de l’intégrale : relation de Chasles, linéarité, comparaison, formule de la moyenne.
Primitives. Intégration par parties, changement de variable (1h) : Applications aux fonctions périodiques et aux fonctions paires ou impaires. Formule de Taylor avec reste intégral.
Calcul de primitives (TD) : primitives usuelles, fractions rationnelles , polynômes en

sin x et cos x (nécessite la linéarisation), changements de variables usuels.

Fonctions définies par une intégrale sur un segment (2h) : intégrales à paramètres : continuité, dérivabilité (preuves (?) seulement dans les cadres les plus élémentaires).
Intégrales généralisées (4h) : Convergence, divergence. Critère de comparaison, critère d’équivalence. Convergence absolue, semi-convergence.
Introduction à l'approximation numérique d'une intégrale (1h) : méthode des rectangles, des trapèzes, méthode de Simpson. Etude de l'erreur.

3.3 TP : approximation numérique d'une intégrale : formules de quadrature et leur ordre, étude de l'erreur.

4 Références

J. Dieudonné : « Calcul infinitésimal », Hermann, Paris 1968.
J.-M. Monier : « Cours de Mathématiques », Vol. 2, Dunaud, Paris 1994.
E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux : « Cours de mathématiques spéciales », Masson, Paris.
J.-P. Ramis, A. Warusfel : « Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence niveau L2 », Dunod.
W. Rudin : « Principes d'analyse mathématique : Cours et exercices », Dunod.