Module Math2-Ana3 : Fonctions à plusieurs variables
Table of Contents
1 Prérequis
Module Math1-Ana1 et Math1-AlgLin1
- Fonctions d'une variable réelle (limite, continuité, dérivabilité, formules de Taylor,…)
- Notions d'algèbre linéaire (a minima en parallèle)
2 Objectif d'apprentissage
Acquérir des rudiments de calcul différentiel et de topologie.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Chapitre 1. Continuité et base de topologie
- Notion de Norme : définition des normes standard 1, 2, infinie, Cauchy-Schwarz, énoncer l’équivalence des normes Définition des limites dans Rn : boules ouvertes, voisinages, ouverts, limite d’une fonction de Rn dans Rd en un point, indépendance par rapport à la norme choisie, limite d’une suite de Rn, continuité et ouverts
- Topologie sur Rn : Ouverts et fermés de Rn, intérieur, adhérence et frontière, compacité, Bolzano-Weirstrass, fonctions continues sur une partie compacte de Rn, preuve du théorème d’équivalence des normes sur Rn.
3.2 Chapitre 2. Calcul différentiel
- Dérivées directionnelles : définition en profiter pour présenter les champs de vecteurs "constants", contre-exemple avec toutes les dérivées directionnelles existent et non continuité.
- Dérivées partielles : définition, notion de gradient, matrice jacobienne, dérivées d'une fonction composée, dérivées d’ordre supérieur, fonctions de classe Ck, théorème de Schwarz.
- Différentiabilité : différentiable=DL ordre 1 existe, lien entre C1 et différentiable, formules de Taylor, notion de point critique, extremum local définition, condition nécessaire d’optimalité, condition suffisante d’optimalité locale.