Module Math2-Ana4 : Suites et séries de fonctions
Table of Contents
1 Prérequis
Modules Math1-Ana2
2 Objectif d'apprentissage
Définir différents modes de convergence de suites et séries de fonctions, rôle de la convergence uniforme pour la stabilité des propriétés des fonctions par passage à la limite, développement en série entière d'une fonction.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Suites de fonctions (6h CM) :
- Rappels sur les séries numériques et extension des notions de convergence (simple et absolue) aux séries à valeurs dans un espaces vectoriel normé de dimension finie.
- Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions : critère de Cauchy uniforme. Continuité et dérivabilité de la limite, théorème de la double limite, interversion limite et intégrale.
- Exemples d'approximation uniforme : une fonction continue sur un segment par des fonctions en escaliers ou par des polynômes (démonstrations non exigible).
- Les fonctions sont définies sur un intervalle de R et à valeurs dans R ou C. En vue des séries entières et de l'exponentielle d'une matrice, on étend dans un second temps les définitions au cas de fonctions définies sur une partie d'un espace vectoriel de dimension finie et à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.
3.2 Séries de fonctions (4h CM) : convergence simple, uniforme et normale. Adaption des propriétés du paragraphe précédent à ce cadre.
3.3 Séries entières (10h CM)
- Convergences (3h CM) : rayon de convergence, lemme d'Abel, règle de D'Alembert. Convergence normale sur tout disque fermé contenu dans le disque ouvert de convergence. Somme et produit de Cauchy de deux séries entières. Les coefficients des séries entières sont réels ou complexes.
- Séries entières de la variable réelle (2h CM) : dérivation et primitivation sur l'intervalle ouvert de convergence. Expression des coefficients de la série entière en fonction des dérivées en 0 de la somme de la série entière.
- Développements en séries entières (2h CM) : développement sur C de exp z, sur le disque unité de 1/(1-z). Développement en séries entières de la variable réelle (exemples des fonctions exponentielle, cos, sin, arctan, ln(1+x), (1+x)a). Développement de Taylor d'une fonction Cinfty.
- Applications aux équations différentielles linéaires (3h CM) :
- Cadre des équations différentielles linéaires : définition, notion de solution.
- Résolution par recherche d'une solution développable en série entière. Développement en série entière d'une fonction qui est solution d'une équation différentielle linéaire.
- Exponentielle de matrices. Exponentielle de la somme de deux endomorphismes qui commutent. Dérivation de t-> exp(tA), où A est une matrice carrée. Le calcul d'une exponentielle se limite au cas où A est diagonalisable ou d'ordre n≤ 3.
3.4 Série de Fourier (4h CM)
- Coefficients de Fourier d'une fonction continue par morceaux 2 pi périodique.
- Applications des théorèmes généraux sur les séries de fonctions à ce contexte. On pourra montrer par exemple que la série de Fourier d'une fonction C¹ 2 pi périodique converge normalement. Théorème de Dirichlet (preuve admise).
4 Références
Tout-en-un pour la Licence, tome 1, Jean-Pierre Ramis et André Warusfel (dir.), Dunod (2018) : chapitres II.2 et II.4.