Module Math2-CdEd : Calcul différentiel et équations différentielles
Table of Contents
1 Prérequis
Modules Math2-Ana3 et Math2-AlgLin2
2 Objectif d'apprentissage
Introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires avec des exemples de résolutions explicites. Théorie linéaire générale. Apprendre à dessiner une courbe plane à partir de sa paramétrisation. Intégrale multiple par une approche élémentaire et tournée vers les calculs.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Chapitre 1 : 12h EdO
- Généralités : edo d’ordre n, équivalence entre edo d’ordre n et système de taille n d’edo d’ordre 1, équation autonome, condition initiale, problème de Cauchy, notion de solution=couple d’une fonction et d’un intervalle d’existence, solution maximale, solution globale, espace de phase, orbites, trajectoires. Exemples simples : pendule, pendule linéarisé, Lotka-Volterra ou proie prédateur
- EDO linéaires : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, existence d’une solution maximale=globale, structure de la solution, résolution explicite dans le cas constant : exponentielles de matrice, diagonalisation, trigonalisation, méthode de variation des constantes.
3.2 Chapitre 2 : 6h, Courbes paramétrées
- 3h Courbes planes :
- Définitions : paramétrage, point régulier ou stationnaire, tangente à la courbe, position de la courbe par rapport à sa tangente : points ordinaire, d’inflexion.
- Tracé de courbes : réduction du domaine (symétries, parités), tableau de variations, branches infinies : asymptotes, branches parabolique, point multiples
- 3h Intégrales curvilignes : Courbes paramétrées plane ou de l’espace régulières, fermées ou non. Définition de l’intégrale d’une fonction de Rn dans R le long d’une courbe, cas particulier de la longueur de la courbe.
3.3 Chapitre 3 : 4h, Intégrales doubles, techniques de calcul
Définition succincte de l’intégrale en commençant sur un rectangle. Propriétés élémentaires : linéarité et Chasles. Fubini, Calcul d’aires. Changement de variables, coordonnées cylindriques, polaires et sphériques