Module Math2-Diff1 : Calcul différentiel avancé

• 4h Suites de Cauchy, complétude de Rⁿ. Applications linéaires (continues), Applications différentiables dans les espaces normés, définition de la différentielle, lien avec les dérivées partielles, matrice jacobienne différentielle des fonctions composées, attention à traiter des exemples en dimension finie mais qui ressemble à de la dim infinie (application des matrices dans les matrices)
• 2h Inégalité des accroissements finis et applications, fonctions Lipschitziennes, C¹ difféomorphismes
• 6h Théorème du point fixe, Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites (démonstration non exigible),

• 3h Courbes planes :
  • Définitions : paramétrage, point régulier ou stationnaire, tangente à la courbe, position de la courbe par rapport à sa tangente : points ordinaire, d’inflexion.
  • Tracé de courbes : réduction du domaine (symétries, parités), tableau de variations, branches infinies : asymptotes, branches parabolique, point multiples
• 3h Intégrales curvilignes : Courbes paramétrées plane ou de l’espace régulières, fermées ou non. Définition de l’intégrale d’une fonction de Rⁿ dans R le long d’une courbe, cas particulier de la longueur de la courbe.

Définition succincte de l’intégrale en commençant sur un rectangle. Propriétés élémentaires : linéarité et Chasles. Fubini, Calcul d’aires. Changement de variables, coordonnées cylindriques, polaires et sphériques