Module Math3-Alg2 : Groupes et anneaux avancés
Table of Contents
1 Prérequis
Module Mah3-Alg1
2 Objectif d'apprentissage
Ce module est le complément de Ag1, il introduit des techniques plus avancées comme le vocabulaire des actions de groupes, la notion de groupe quotient ou d'anneau quotient, et la notion d'irréducibilité dans les anneaux de polynômes.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Groupes quotients et action de groupes (8 semaines)
- Sous-groupes distingués, groupes quotients, théorème d’isomorphisme.
- Produit direct et semi-direct interne à partir des exemples du groupe affine et de Dn
- Classification des groupes monogènes et des groupes abéliens finis (y compris démonstration "élémentaire"–ref Cohn), exemples en petit cardinal
- La simplicité des groupes alternés pourra être vue en TD.
- Action de groupes: vocabulaire (orbite, stabilisateur, quotient par le stabilisateur, partition par les orbites), exemples issus de la géométrie (Ex: action de A4 sur le tétraèdre), formule des classes.
- Formule de Burnside, applications à des problèmes de comptage
3.2 Idéaux et anneaux quotients (3 semaines)
- Idéaux, exemples.
- Notion d'anneau quotient : pour que l'application A -> A/I donne une structure d'anneau il faut et il suffit que I soit un idéal, théorème d'isomorphisme (A/Ker f est isomorphe à f(A))
- Idéaux principaux, idéaux premiers, idéaux maximaux.
- Polynômes sur un anneau A intègre, produit et degré dans A[X], éléments inversibles et polynômes unitaires de A[X]. Division euclidienne d'un élément de A[X] par un polynôme unitaire.
- Opérations sur les idéaux (intersection, somme et produit).
- Théorème des restes chinois pour des idéaux comaximaux
3.3 Anneaux factoriels (3 semaines)
- Anneau factoriel, preuve de Principal => Factoriel
- Preuve de A factoriel => A[X] factoriel, d'où les exemples fondamentaux K[X,Y] et Z[X].
- Bezout faux dans ces deux exemples.
- p.g.c.d. et p.p.c.m. dans un anneau factoriel.
- Irréducibilité dans Z[X] et Q[X].
- Critère d'Eisenstein, ou plus généralement critères d'irréducibilité via réduction modulo p.
3.4 Supplément envisageable sur les groupes
- Produit semi-direct externe
3.5 Suppléments envisageables sur les anneaux
- Entiers sommes de deux carrés
- Polynômes cyclotomiques
4 Références
- Szpirglas: "Algèbre L3", chapitres 6,7,8,9,10
- Ramis - Warusfel: "Mathématiques tout en un pour la licence 2", II.1, II.2, II.7
- Félix Ullmer, Théorie des groupes