Module Math-Ana5 : Espaces vectoriels normés
Table of Contents
1 Prérequis
Modules Math2-AlgLin3, Math2-Ana4
- topologie normée en dimension finie, toutes les notions de normes et produit scalaire en dimension finie, notion de suite de Cauchy dans Rn
- suites et séries de fonctions
- intégration au sens de Lebesgue fortement conseillé (au moins en parallèle –> module Ana6)
2 Objectif d'apprentissage
Topologie des espaces métriques, espaces de Banach Analyse hilbertienne
3 Descriptions des enseignements
3.1 Espaces métriques/espaces vectoriels normés/espaces préhilbertiens
- Rappels : ensembles et applications
- Distances / espaces métriques : distances, exemple de distances, distances équivalentes, espaces métriques, applications d'un espace métrique dans un autre, notions définies à l'aide d'une distance (boule, notion d'ouverts et de fermés, notion de voisinage), suites dans un espace métrique, applications continues en un point, applications continues sur une partie, opérations sur les applications continues
- normes / espaces vectoriels normés : normes, exemple de normes, espaces vectoriels normés, normes équivalentes, notions déjà vues dans les espaces métriques, applications linéaires continues (norme d'opérateur), composition d'application continue
- produit scalaire / espace préhilbertien : produit scalaire, exemples de produit scalaires, identités remarquables, espaces préhilbertien, bilan
3.2 Espaces métriques complets / espaces de Banach / espaces de Hilbert
- rappel de convergence uniforme
- espaces métriques complets : suite de Cauchy dans un espace métrique, espaces métriques complets, relations entre "complet"et "fermés", point fixe dans un espace métrique complet, application aux EDO
- espaces de Banach : espaces de Banach, séries dans un espace de Banach, applications linéaires continues à valeurs dans un Banach; Exemple d'application : Cinfini muni de la norme. Théorème du point fixe : -> Cauchy linéaire
- espaces de Hilbert : espaces de Hilbert, projection sur un convexe complet d'un espace préhilbertien
3.3 Compacité
- compléments de topologie dans un espace métrique : valeur d'adhérence d'une suite, parties denses / parties séparables
- parties compactes d'un espace métrique : définition séquentielle d'un compact, autres caractérisation de Borel-Lebesgue, propriétés, fonctions continues sur un compact, compacité dans les espaces vectoriels normés.
- application : Ascoli
3.4 Analyse Hilbertienne
- l'isométrie de Riesz d'un espace de Hilbert
- opérateur adjoint d'un opérateur : rappels d'algèbre linéaire, prolongement au contexte hilbertien
- bases Hilbertiennes : familles orthogonales/orthonormales, bases Hilbertiennes
3.5 Séries de Fourier : cadre général
4 Références
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe - 3ème édition, Cours et exercices, Dunod
- Y. Sonntag, Topologie et analyse fonctionnelle. Cours de Licence avec 240 exercices et 30 problème corrigés. Editions Ellipses (1998).
- Georges Skandalis, Topologie et analyse, Cours et exercices avec solutions, Collection : Sciences Sup, Dunod Parution : novembre 2004
- Yger Alain, Intégration, espaces de Hilbert et analyse de Fourier - cours et exercices corrigés, Ellipse, 2018
- X. Gourdon. Analyse : Mathématiques pour MP*. Ellipses Marketing, 2008
- J. Moisan, A. Vernotte, and N. Tosel. Analyse : suites et séries de fonctions. Ellipses, 1992.