Module Math-Ana6 : Théorie de la mesure
Table of Contents
- 1. Prérequis
- 2. Objectif d'apprentissage
- 3. Descriptions des enseignements
- 3.1. Espaces mesurables.
- 3.2. Mesures.
- 3.3. Fonctions mesurables.
- 3.4. Intégrale des fonctions mesurables positives.
- 3.5. Intégrale des fonctions mesurables de signe quelconque.
- 3.6. Continuité et dérivabilité des intégrales avec paramètre.
- 3.7. Mesure produit
- 3.8. Mesure image et théorème de transfert.
- 3.9. Espaces Lp.
- 3.10. Produit de convolution.
- 4. Références
1 Prérequis
Modules Math2-Ana3 et Math2-Ana4
Notions d'analyse réelle, d'algèbre linéaire et de calcul différentiel de la 1ère et 2ème année de licence
2 Objectif d'apprentissage
L'objectif du cours est de donner une vue d'ensemble de la théorie de la mesure et de l'intégration à un niveau de troisième année de licence. Nous introduisons un vocabulaire commun à l'analyse et à la théorie des probabilités, afin de faciliter l'accès conjoint à des études ultérieures dans ces deux branches des mathématiques.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Espaces mesurables.
Sigma-algèbres (tribus), tribu engendrée, tribu borélienne.
3.2 Mesures.
Exemples (masse de Dirac, comptage). Ensemble négligeable. Mesure de Lebesgue (construction admise). On donnera l'énoncé du lemme des classes monotones, la preuve n'étant pas exigible.
3.3 Fonctions mesurables.
Définition, propriétés. Fonctions étagées. Théorème de Borel (approximation par des fonctions étagées).
3.4 Intégrale des fonctions mesurables positives.
Propriétés de l’intégrale. Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou : dans les deux cas, on donnera les preuves de ces énoncés.
3.5 Intégrale des fonctions mesurables de signe quelconque.
Propriétés de l’intégrale. Théorème de convergence dominée. Exemples de calcul d'intégrale contre une mesure qui n'est pas aboslument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (masse de Dirac, mesure de comptage)
3.6 Continuité et dérivabilité des intégrales avec paramètre.
On donnera les preuves des énoncés.
3.7 Mesure produit
Théorèmes de Fubini pour les fonctions positives et pour les fonctions intégrables : on donnera la preuve de l'existence et de l'unicité ainsi qu'un contre-exemple sans l'hypothèse de positivité.
3.8 Mesure image et théorème de transfert.
Exemple de la mesure image de la mesure de Lebesgue par un C¹ difféomorphisme (i.e. théorème de changement de variables entre deux ouverts de RN, preuve admise). On donnera néanmoins la preuve du théorème de transfert.
3.9 Espaces Lp.
Définition, inégalités de Hölder et de Minkowski, preuve de la complétude. On pourra traiter la transformer de Fourrier dans L¹(R) comme un exemple d'application linéaire sur cet espace.
3.10 Produit de convolution.
Théorèmes de densité (par régularisation)
4 Références
- Th. Gallay, Théorie de la mesure et de l’intégration. Polycopié Univ. J. Fourier, Grenoble, 2009.
- M. Briane et G. Pagés, Théorie de l'intégration, Vuibert 2006.
- W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod 2009.
- P. Halmos, Measure theory, Springer, 1950.
- G. Folland, Real analysis. Modern techniques and their applications. J. Wiley & Sons, 1984.
- E. Hewitt, K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer, 1965.
- T. Gallouet et R. Herbin, Mesures, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.