Module Math3-Ana7 : Analyse de Fourier et théorie du signal
Table of Contents
1 Prérequis
Module Math3-Ana5 ou Math3-TopAH. Module Math2-Ana6
- Intégration au sens de Lebesgue (convergence dominée, continuité et dérivation sous le signe somme, Fubini) –> Module ana6
- Espaces et base d'un espace de Hilbert (bases orthonormées et orthogonales) –> modules ana5
- Séries de Fourier –> modules ana5
- Python, utilisation de numpy (pour les TP) –> module Math3-algo
2 Objectif d'apprentissage
Introduction à l'analyse de Fourier.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Introduction :
- opérations mathématiques lors passage de l'analogique au digital : convolution (outil de mesure), fenêtrage (saisie d'une fenêtre temporelle (signal) ou d'une image), échantillonnage, influence du bruit, quantification (réduction du nombre de couleurs)
- traitement ponctuel des images par des fonctions
- parler de signaux périodiques et convolution circulaire.
Lors de la présentation de la partie 2, insister sur le lien qui sera fait à la partie 3.
3.2 La transformée de Fourier :
- décomposition d'un signal/image dans une base Hilbertienne
- notion de Dirac
- Transformée de Fourier sur L1, convolution, application d'un filtre (convolution) à l'aide de la TF. Dimension 1 et 2
- Transformée de Fourier sur L2, Parseval, Plancherel
- TF d'un Dirac et Formule de Poisson
- Principe d'incertitude de Heisenberg
3.3 Passage au discret :
- Échantillonage des signaux analogiques : Shannon-Whittaker, aliasing
- TF discrète :
- TF sur un signal échantillonné (nombre infini d'échantillons) => série de Fourier : c'est une formule de Poisson (série infinie).
- DFT : nombre fini d'échantillons, Parseval et Plancherel discrets, lien avec la convolution (circulaire) discrète
- Formule de Poisson (sous échantillonnage), Gibbs (faire le lien avec la troncature continue, oscillations, bornes des valeurs min et max d'une image non respectées)
- Shannon pour les suites finies
- FFT : algorithme
3.4 Introduction à l'analyse temps fréquence : parler de la TF continue à fenêtre et DFT à fenêtre
4 Références
- Maitine Bergounioux. Introduction au traitement mathématique des images - méthodes déterministes. 1re édition. Mathématiques et Applications 76. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2015.
- G. Peyré. L’algèbre discrète de la transformée de Fourier. Ellipse, 2004.
- Gallouet-Herbin, cours d'intégration-proba, voir chap 10.
- cours en ligne de Fabre, Morel, Gousseau : Analyse hilbertienne et analyse de Fourier
- C. Gasquet and P. Witomski. Analyse de Fourier et applications. Masson, 1990.
http://dev.ipol.im/~facciolo/hilbert/Analyse_de_Fourier_et_Hilbertienne_2012.pdf