Module Math3-Ana7 : Analyse de Fourier et théorie du signal

Table of Contents

1 Prérequis

Module Math3-Ana5 ou Math3-TopAH. Module Math2-Ana6

  • Intégration au sens de Lebesgue (convergence dominée, continuité et dérivation sous le signe somme, Fubini) –> Module ana6
  • Espaces et base d'un espace de Hilbert (bases orthonormées et orthogonales) –> modules ana5
  • Séries de Fourier –> modules ana5
  • Python, utilisation de numpy (pour les TP) –> module Math3-algo

2 Objectif d'apprentissage

Introduction à l'analyse de Fourier.

3 Descriptions des enseignements

3.1 Introduction :

  • opérations mathématiques lors passage de l'analogique au digital : convolution (outil de mesure), fenêtrage (saisie d'une fenêtre temporelle (signal) ou d'une image), échantillonnage, influence du bruit, quantification (réduction du nombre de couleurs)
  • traitement ponctuel des images par des fonctions
  • parler de signaux périodiques et convolution circulaire.

Lors de la présentation de la partie 2, insister sur le lien qui sera fait à la partie 3.

3.2 La transformée de Fourier :

  • décomposition d'un signal/image dans une base Hilbertienne
  • notion de Dirac
  • Transformée de Fourier sur L1, convolution, application d'un filtre (convolution) à l'aide de la TF. Dimension 1 et 2
  • Transformée de Fourier sur L2, Parseval, Plancherel
  • TF d'un Dirac et Formule de Poisson
  • Principe d'incertitude de Heisenberg

3.3 Passage au discret :

  • Échantillonage des signaux analogiques : Shannon-Whittaker, aliasing
  • TF discrète :
    • TF sur un signal échantillonné (nombre infini d'échantillons) => série de Fourier : c'est une formule de Poisson (série infinie).
    • DFT : nombre fini d'échantillons, Parseval et Plancherel discrets, lien avec la convolution (circulaire) discrète
  • Formule de Poisson (sous échantillonnage), Gibbs (faire le lien avec la troncature continue, oscillations, bornes des valeurs min et max d'une image non respectées)
  • Shannon pour les suites finies
  • FFT : algorithme

3.4 Introduction à l'analyse temps fréquence : parler de la TF continue à fenêtre et DFT à fenêtre

4 Références

  • Maitine Bergounioux. Introduction au traitement mathématique des images - méthodes déterministes. 1re édition. Mathématiques et Applications 76. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2015.
  • G. Peyré. L’algèbre discrète de la transformée de Fourier. Ellipse, 2004.
  • Gallouet-Herbin, cours d'intégration-proba, voir chap 10.
  • cours en ligne de Fabre, Morel, Gousseau : Analyse hilbertienne et analyse de Fourier
  • C. Gasquet and P. Witomski. Analyse de Fourier et applications. Masson, 1990.

http://dev.ipol.im/~facciolo/hilbert/Analyse_de_Fourier_et_Hilbertienne_2012.pdf

Author: genzmer yohann

Created: 2023-06-22 jeu. 10:57

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