Module Math3-Ana8 : Analyse complexe

1. Prérequis
2. Objectif d'apprentissage
3. Descriptions des enseignements
4. Références

1 Prérequis

Modules Math2-Ana3 et Math2-Ana4

2 Objectif d'apprentissage

Introduction à l'analyse complexe en une variable

3 Descriptions des enseignements

Ce module est subdivisé en deux sous-modules de 3 ECTS chacun.

La première partie est un module suivi également par des étudiants des parcours de physique. Elle court jusqu'au théorème des résidus.

3.1 Fonctions holomorphes C-différentiable

Dérivée complexe
Fonction différentiable sur le plan réel. Définition de la dérivabilité complexe.
Equations de Cauchy-Riemann.
Exemples : polynomes, séries entières, fonctions analytiques
Séries entières.

3.2 Formule de Cauchy et conséquences

Intégration sur les chemins
Définition de l'intégrale d'une forme différentielle (à valeurs complexes) sur un chemin C¹ par morceaux.
L'intégrale ne dépend pas du paramétrage de la courbe. Changements de variables bijectifs sur un intervalle.
Formes exactes.
Longueur d'une courbe, majoration d'une intégrale.
Théorème de Cauchy, formule de Cauchy dans un disque.
Formule de la Moyenne.
Conséquence : Une fonction holomorphe est analytique. Inégalités de Cauchy.
Théorème de Liouville. Théorème Fondamental de l'Algèbre.

3.3 Formule des résidus et applications

Pole. Résidu défini comme limite d'intégrale sur des cercles.
Calcul du résidu.
Théorème des résidus
Applications au calcul d'intégrales.

3.4 Rappels sur les séries entières, et exemple de l'exponentielle

Théorème de Fubini (admis),
produit de Cauchy, cas où les deux séries sont absolument convergentes.
Exponentielle complexe, propriétés, périodicité et définition de Pi, argument, détermination principale du logarithme.
Puissances d'un nombre complexe.

3.5 Autres propriétés

Rappel : connexité, connexité par arcs.
Théorèmes des zéros isolés, du Prolongement analytique.
Principe du module maximum.

La seconde partie de ce module n'est destiné qu'aux étudiants en mathématiques. On y démontre rigoureusement certains faits admis dans "Analyse Complexe 1". Il pourra être nécessaire de passer du temps sur des questions non traitées en fin d'Analyse Complexe 1. La section sur les suites de fonctions holomorphes sera traitée selon le temps qui reste.

3.6 Équivalence entre C-dérivabilité et analyticité

C-dérivabilité et \R-différentiabilité.
Existence de primitives ssi les intégrales sur les chemins fermés sont nulles.
Théorème de Morera.
Théorème d'Inversion Locale pour les fonctions holomorphes.

3.7 Indice d'une courbe et formule de Cauchy généralisée

Cycles comme sommes algébriques de chemins fermés.
Indice : définition, valeurs entières.
Théorème de Cauchy et Formule de Cauchy généralisés.

3.8 Singularités isolées, formule des résidus généralisée

Théorème de la singularité éliminable de Riemann.
Classification des singularités isolées.
Théorème de Casorati-Weierstrass.
Série de Laurent.
Développement en série de Laurent d'une fonction holomorphe sur un anneau.
Démonstration de la formule des résidus généralisée (avec indices).
Principe de l'argument.
Comportement local des fonctions holomorphes.
Théorème de l'application ouverte.
Théorème de Rouché.
Domaines simplement connexes.
Homotopie entre deux courbes fermées. Relation d'équivalence.
Domaine simplement connexe. Invariance par homéomorphisme.
Exemple : domaines étoilés.
Homotopie à extrémités fixes de chemins.
Théorème de l'application conforme de Riemann.

3.9 Suites de fonctions holomorphes

Convergence uniforme sur tout compact.
Théorème de Weierstrass.
équicontinuité.
Théorème d'Ascoli.
Théorème de Montel (familles normales).
Démonstration du théorème de l'application de Riemann.

4 Références

Ahlfors, L. V. Complex Analysis. Third Edition, McGraw-Hill, New York, 1979.
Conway, J. B. Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1995 (seventh corrected printing).
Rudin, W. Real and Complex Analysis. Second edition, McGraw-Hill, New York, 1974.