Module Math3-Num1 : Méthodes numériques -
Table of Contents
- 1. Prérequis
- 2. Objectif d'apprentissage
- 3. Descriptions des enseignements
- 3.1. Chap 1 : Interpolation de Lagrange
- 3.2. Chap 2 : Intégration numérique
- 3.3. Chap 3. : Notion de modélisation par équations différentielles ordinaires
- 3.4. Chap 4. Mise en place des méthodes d'approximation des solutions EDOs à partir des méthodes d'intégration numérique
- 3.5. Chap 5. : Méthodes d’ordre élevé
- 3.6. Complément de cours :
- 4. Références
1 Prérequis
Module Math2-Ana2
Connaissances d'algèbre linéaire et d'intégration. Notions d'analyse et d'algèbre de base
2 Objectif d'apprentissage
- Connaissance des méthodes d'interpolation et de calcul approché d'intégrales et les erreurs d'approximation correspondantes, implémentation en Python
- Notions de modélisation de problèmes issus de la mécanique, biologie, chimie par exemple.
- Connaissance des schémas de résolution d'EDOs classiques : Euler explicite et implicite, Heun, Crank-Nicolson, Méthodes multi-pas, Runge Kutta et leur implémentation en Python
- Ordre de consistance par les formules de Taylor, stabilité (lemme de Gronwall discret), ordre de convergence
3 Descriptions des enseignements
3.1 Chap 1 : Interpolation de Lagrange
Existence et unicité du polynôme d'interpolation, écriture dans la base de Lagrange, erreur d'interpolation. On verra en TP la notion de "précision machine", sans entrer dans le détail de l'arithmétique en virgule flottante.
3.2 Chap 2 : Intégration numérique
À partir des polynômes d'interpolation de Lagrange mise en place des méthodes d'intégration standard. Notion d'ordre et d'erreur d'approximation. Formules de quadrature d'ordre supérieur (Gauss).
3.3 Chap 3. : Notion de modélisation par équations différentielles ordinaires
3.4 Chap 4. Mise en place des méthodes d'approximation des solutions EDOs à partir des méthodes d'intégration numérique
méthodes d'Euler explicite et implicite et autres schémas à un pas. Analyse des méthodes (consistance, stabilité, convergence), ordre des schémas.
3.5 Chap 5. : Méthodes d’ordre élevé
Schémas de type Runge-Kutta : schémas explicites et implicites définies. Consistance, stabilité, ordre, stabilité absolue
3.6 Complément de cours :
Schémas multi-pas critère de Dahlquist, Heun, Crank-Nicolson.
Notions de stabilité absolue, région de stabilité, A-stabilité,
Toutes les méthodes vues en cours font l'objet d'une mise en oeuvre pratique en TP avec le langage Python.
4 Références
- Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, D. Griffiths, D. Higham, Springer