Module Math3-Num2 : Méthodes numériques - LU, systèmes, EDO
Table of Contents
1 Prérequis
Modules Math1-AlgLin1 et Math2-Ana2
Théorème de Rolle, théorème des valeurs intermédiaires, formules de Taylor
2 Objectif d'apprentissage
Dans ce module, l'objectif est d'une part de présenter les bases de l'analyse numérique, en particulier dans l'idée de les appliquer à des problèmes de résolution de grands systèmes d'équations (linéaires ou non) et des problèmes de type systèmes d'équations différentielles. On insistera en particulier sur la modélisation, c'est à dire la mise en équation d'un problème « de la vie courante », la résolution mathématique du ce problème, et, quand il n'existe pas de solution analytique, la recherche de solution approchée par des méthodes numériques. Ce module sera aussi l'occasion de voir des preuves de convergence de méthodes numériques qui illustrent l'utilisation de nombreux théorèmes classiques d'analyse.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Chapitre 1. Systèmes linéaires
- Rappels d'interpolation (écriture d’un système linéaire inversible – choix de la base) et d'intégration numérique.
- Résolution de systèmes linéaires (méthode de Gauss, systèmes triangulaires, décomposition LU et Cholesky, méthodes itératives).
- TP voir la notion de "précision machine", sans entrer dans le détail de l'arithmétique en virgule flottante.
3.2 Chapitre 2. Résolution de systèmes non linéaires
- Méthode de dichotomie, sécante et Newton en 1D,
- Méthode de point fixe et de Newton-Raphson en multi-D ( preuves de convergence et implémentation des méthodes sur des cas concrets).
- Méthode de la puissance
3.3 Chapitre 3. Analyse des Equations Différentielles Ordinaires
- Modélisation (mise en équation d'un problème concret pour aboutir à un système d'EDOs),
- Rappels théoriques : existence et unicité de solutions (Théorème de Cauchy Lipschitz ), étude des points stationnaires, portraits de phase,
- Méthodes d'approximation numérique : étude de consistance, stabilité et convergence
- Mise en place : implémentation en TP.
4 Références
- Francis Filbet : « Analyse numérique : Algorithme et étude mathématique »
- Michelle Schatzman : « Analyse numérique : une approche mathématique »
- Luca Amodei, J-P Dedieu : « Analyse numérique matricielle : cours et exercices corrigés »