Module Math3-Num3 : Méthodes numériques - Simulations stochastiques
Table of Contents
- 1. Prérequis
- 2. Objectif d'apprentissage
- 3. Descriptions des enseignements
- 4. Références
1 Prérequis
Modules Math2-Ana2 et Math2-Prob1
2 Objectif d'apprentissage
L'objectif est d'approfondir quelques notions probabilistes très utiles pour les simulations numériques stochastiques et les applications statistiques. Ces notions sont illustrées concrètement par simulation sur Python.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Partie 1 (3cc 2TD 2TP - 14h) - Simulations de variables aléatoires réelles
3.1.1 Notions essentielles de probas
variables discrètes, variables à densité, fonction de répartition et indépendance de variables aléatoires)
3.1.2 Méthode d'inversion de la fonction de répartition
générateurs à congruence, méthode d'inversion, exemples (lois discrètes, uniformes, exponentielles, Poisson)
- TP Affichage d'une loi par histogramme et illustration de la méthode d'inversion de la fonction de répartition
3.1.3 Changement de variables (algorithme de Box-Müller, mélanges)
3.1.4 Méthode du rejet
simulation d'une variable conditionnée par un événement, méthode du rejet pour une loi cible à densité par rapport à Lebesgue, à partir d'une loi auxiliaire.
- TP Simulation de gaussiennes et méthode du rejet.
3.2 Partie 2 (2cc 2TD 1TP - 10h) - Chaîne de Markov
3.2.1 Rappel des définitions et exemples
3.2.2 Simulations de chaîne de Markov
par une formule de récurrence ou avec la matrice de transition
3.2.3 Comportement asymptotique
loi invariante et résultat de convergence
- TP Simulation de chaîne de Markov et comportement asymptotique
3.3 Partie 3 (2cc 2TD 1TP - 10h) - Théorèmes limites
3.3.1 Loi des grands nombres
convergence presque sûre, LGN et méthode de Monte-Carlo
3.3.2 Théorème central limite
convergence en loi (par la fonction de répartition), TCL, contrôle de l'erreur dans la méthode de Monte-Carlo
3.3.3 Vecteurs gaussiens et TCL multidimensionnel (facultatif)
- TP Affichage d'une convergence presque sûre et illustration de la méthode de Monte-Carlo
3.4 Partie 4 (5cc 4TD 2TP - 12h) - Statistiques
3.4.1 Modèle statistique
estimation paramétrique (méthode des moments et maximum de vraisemblance) et exemples concrets (en particulier à travers la modélisation d'un problème de sondage)
3.4.2 Intervalles de confiance
non-asymptotique via Bienaymé-Tchebychev et asymptotique via TCL
3.4.3 Problème du sondage (estimation paramètre et intervalles de confiance)
3.4.4 Tests paramétriques
tests d'hypothèses simples et composites sur une proportion, calcul et représentation de courbes de puissance
3.4.5 Introduction aux tests non-paramétriques
fonction de répartition empirique, théorème de Glivenko-Cantelli, test de Kolmogorov(-Smirnov).
+TP Tests statistiques