Module Math3-Prob2* : Probabilités et statistiques continues avancées

• 0a – Modèle probabiliste, axiomes de probabilité, cas pratiques à modéliser, liens avec la théorie de la mesure, manipulations ensemblistes [l’étape de modélisation d’un problème dans un cadre formel sont formateurs pour l’agrégation et les masters visés].
• 0b – Probabilités conditionnelles, indépendance, formule de Bayes et utilisation, cas des "paradoxes", manipulation de la continuité supérieure/inférieure de la mesure de probabilité.

• 1a – Variable aléatoire à densité sur R : transfert, loi image, densité, fonction de répartition, quantiles, moments, fonction caractéristique, transformée de Laplace, exemples classiques de lois (uniforme, exponentiel, normale, Pareto) [calculs de lois et moments en TD].
• 1b *Facultatif (fait dans Num3) * – Outils de changements de variable : quantiles, rappels sur la domination, densité par rapport à une autre probabilité, méthode de rejet simple.
• 1c – Couple à densité : loi jointe et marginales, covariance, densité conditionnelle, calculs. Approfondir l’indépendance par Fubini, identification de la loi de la somme (convolution, fonction de répartition, densité, fonction caractéristique) et du produit.
• 1d – Inégalités (Markov, Bienaymé-Tchebychev, Jensen, Hoeffding, Hölder, Minkowski, variantes) [pas de Bernstein, ni d’inégalités maximales], utilisation pour borner la déviation des sommes et exhiber la vitesse sqrt(n) des déviations modérées [prépare la suite].
• TP 1 : générateur uniforme, simulation de v.a. continues, comparaison avec les vraies fonctions de répartitions et densités, étude d'un couple non indépendant ; travail à rendre = illustration de Box-Muller (preuve vue en td).

• 2a – Suite de variables aléatoires réelles : cadre, espace produit infini, indépendance mutuelle et deux à deux, implications (espérance de produits, loi des sommes, fonction caractéristique). [Généralise le cas à deux variables du 1c.]
• 2b – Modes de convergence : en probabilité, presque sûr, Lp, exemples [et contre-exemples], et conséquences. Stabilité par transformation continue. [Schéma des implications, avec CS de réciproques, à savoir par coeur.]
• 2c Facultatif – Théorèmes de comparaisons : preuves avec réciproques, uniforme intégrabilité, convergence dominée, convergence de sous-suites, métriques sur L0 et Lp.
• 2d – Convergence en loi : approche par fonctions de répartition, définition générale, implications [le portmanteau uniquement en complément *], stabilité par continuité, lien avec la convergence en probabilité, notion de suite tendue.

• 3a – Cadre presque sûr : limsup et liminf ensemblistes, lemme de Borel-Cantelli, condition suffisante de convergence presque sûre [évocation des événements, et tribu, asymptotiques*], application à la marche aléatoire non symétrique (p<1/2, p>1/2)*. [possible complément sur la loi du zéro-un, et l’application à la récurrence du cas p=1/2]
• 3b – Loi faible des grands nombres et extension : loi faible (par Markov) [possibilité éventuelle de faire le passage au presque sûr via 3a pour les proportions (par Stirling) puis pour les variables bornées (par Hoeffding)].
• 3c – Loi forte des grands nombres : [possibilité éventuelle de faire la preuve sous hypothèse L4, puis L2 la preuve de Kolmogorov, ou celle par son théorème des trois séries]*, étude du cas divergent.

[possible complément sur la preuve par loi du zéro-un]

• 3d – Applications : Monte-Carlo, [polynômes de Bernstein en exo guidé], convergence des moments empiriques centrés et non centrés, notion d’estimateur convergent.

• 4a – Enoncé sur R : preuve par fonctions caractéristiques [théorème de Levy admis].
• 4b – Fluctuations exactes et asymptotiques des proportions : formule par binôme, approximation normale, théorème poissonnien [distinguer les domaines d’attraction].
• 4c Facultatif – Transformations : lemmes de Slutsky, de Scheffé, transformation dérivable. Application à la méthode des moments, estimation d’un paramètre.
• 4d – Intervalle de confiance asymptotique : précision dans Monte-Carlo, localisation d’un paramètre [optimiser la variance par changement de variable].
• TP 2 : illustration de la LGN et du TCL par simulations, tracé des fonctions de répartitions empiriques ; travail à rendre = illustration du TCL avec estimation de la probabilité exacte de l’intervalle de confiance asymptotique, selon n et selon la loi choisie (uniforme, binomiale).