Module Math3-Prob2 : Probabilités et statistiques continues
Table of Contents
1 Prérequis
Modules Math2-Proba1, Math2-Ana2
Intégrale de Riemann, séries, séries entières, intégrales généralisées ; probabilités et variables aléatoires discrètes de L1-L2.
2 Objectif d'apprentissage
maîtrise raisonnable des notions, raisonnements et résultats de base en probabilités continues ; utilisation de la LGN et du TCL en statistique d'échantillonnage ; compétence élémentaire en modélisation aléatoire (il faut beaucoup d'exemples et peu de preuves longues).
3 Descriptions des enseignements
3.1 PARTIE PROBABILITES (6-7 semaines, 5cc, 7td, 1 TP)
3.1.1 Leçon 0 – Rappels (1 semaine, 1td avec : cc écrit à lire + évaluation/test maison ?)
- 0a - modèle probabiliste, axiomes de probabilité, cas pratiques à modéliser.
- 0b - probabilités conditionnelles, indépendance, formule de Bayes et utilisation, cas des "paradoxes".
3.1.2 Leçon 1 : Variable aléatoire continue (3 semaines, 3cc, 4td)
- 1a – Variable aléatoire à densité sur R : loi, fonction de répartition, moments [ Pas de fonction caractéristique, pas de transfert ].
- 1b - Outils de changements de variable (densité, quantiles).
- 1c - Application aux exemples classiques : uniforme, exponentiel, normale, Pareto.
- 1d - Inégalités de déviation (Markov, Bienaymé-Tchebychev) et utilisation.
3.1.3 Leçon 2 : Couple à densité (2 semaines, 2cc, 2td, 1tp)
- 2a - Définitions : loi jointe, marginales, covariance, corrélation.
- 2b - Indépendance : propriétés, implications (espérance de produits).
- 2c - Non indépendance : densités conditionnelles (calculs de moments, de lois marginales).
- 2d - Un outil : transformée de Laplace, application à la somme de variables indépendantes.
- TP 1 : générateur uniforme, simulation de v.a. continues avec changement de loi par transport, tracé des vraies fonctions de répartitions et densités, calcul de bornes de déviation, étude d'un couple non indépendant ; travail à rendre = illustration de Box-Muller (preuve vue en TD).
3.2 PARTIE STATISTIQUE (5cc, 6td, 1 TP)
3.2.1 Leçon 3 : Echantillons et leur description (2 semaines, 2cc, 2td)
- 3a – Variables aléatoires réelles réalisées : statistique descriptive univariée, représentation des variables discrètes ou continues.
- 3b - Couples réalisés : séries statistiques bidimensionnelles continue, cas discret des tables de contingence.
- 3c - Quelques indicateurs : coefficient de corrélation linéaire, droite de régression, analyse de la variance.
- 3d - Retour aux variables aléatoires : la moyenne empirique (espérance, variance, notion de sans biais), variance empirique (espérance, correction du biais, variance), covariance empirique (espérance).
3.2.2 Leçon 4 : Convergence de la moyenne empirique (3 semaines, 3cc, 4td, 1tp)
- 4a - Suite i.i.d. et modes de convergence : en proba, presque sûre, Lp et leurs relations [ pas de preuves, pas de tribus ].
- 4b - Loi des grands nombres : faible démontrée [ forte admise ], application à la méthode de Monte-Carlo.
- 4c - Fluctuations exactes et asymptotiques des proportions : rappels loi binomiale, formule de "première" par binôme, formule de "terminale" (de Moivre Laplace), théorème poissonnien.
- 4d - fluctuations asymptotiques de la moyenne : théorème central limite [ admis ], Slutzky, intervalles de fluctuation, intervalles de confiance.
- 4e - tests : d'une moyenne (et d'une proportion), test d'adéquation du Chi-deux.
- TP 2 : réalisation d'échantillons, représentations descriptives, convergence de la moyenne empirique, tracé des fonctions de répartitions empiriques, calcul d’une borne de déviation par Monte-Carlo ; travail à rendre = illustration du TCL pour des proportions.
4 Références
- Ross, Initiation aux probabilités, Traduction de la neuvième édition américaine, Presses polytechniques et universitaires romandes, 2014
- Ross, A First Course in Probability, Ninth edition, Pearson, 2014
- Tassi, Méthodes statistiques, 3 e édition, Economica, 2004
- Rice, Mathematical Statistics and Data Analysis, Second edition, Duxbury Press, 1995
- Bercu, Chafaï, Modélisation stochastique et simulation, Dunod, 2007