Module Math3-TopAH : Espaces hilbertiens

Produit scalaire sur un espace de dimension infinie, norme associée, orthogonalité. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Bases orthonormées. Normes équivalentes (rappel de la dimension finie et généralisation à la dimension infinie).

Norme provenant d’un produit scalaire (pas dans un cadre métrique général) : il faut la notion de suite, limite de suite, convergence dans un espace normé, un->u dans un espace normé. Utiliser les notions vues en dimension finie (suite de Cauchy dans R), fonction continue et suite convergente.

• Définitions des espaces pré-hilbertiens et de Hilbert. Exemples d'espaces de Hilbert : petit l2.
• Fermeture d’une partie d’un espace de Hilbert
• Orthogonal, projection sur un sous espace fermé

Parseval dans un cadre général

• convergence L2, théorie Hilbertienne en détails
• autres modes de convergence (sans les preuves, comprendre les hypothèses et les conclusions)
  • convergence ponctuelle (Dirichlet), énoncé du théorème, preuve facultative
  • convergence uniforme (Fejer), énoncé du théorème, preuve facultative

• Continuité d'une application linéaire : rappel en dim finie : elles sont toutes continues, plus vrai en dimension infinie.
• Notion de norme d'opérateur (but : énoncé du thm de représentation de Riesz).
• Forme linéaire : dual d’un espace de Hilbert, théorème de représentation de Riesz (admis, sans preuve : comprendre les hypothèses et les conclusions) (TD principalement axé sur la dimension finie)
• opérateur, adjoint (utiliser la représentation de Riesz), opérateur unitaire (isométrie) : rappel de la dimension finie pour l'introduction de chaque notion (ex : transposée de matrice vs adjoint). Notion d'adjoint maitrisé au moins en dimension finie.