Ce cours est une initiation. Je ne suis moi-même pas vraiment un
spécialiste de géométrie algébrique, vous
pouvez prendre ça comme une
garantie que le cours ne vous perdra pas dans des stratosphères
incompréhensibles. En particulier, il n'est pas
nécessaire d'avoir
suivi le cours de M1. Si malgré tout vous avez suivi le cours de
M1, ce
cours sera sans doute moins une suite qu'un complément. Au
contraire,
si vous aviez raté le cours de M1, c'est votre dernière
chance d'avoir
un cours d'introduction, après, il vous restera à lire
Hartshorne [H]
tout seul !
La géométrie algébrique c'est tout simple :
c'est étudier le
lieu des zéros communs de (une ou) plusieurs équation(s)
polynomiale(s).
Ainsi les exemples basiques de surfaces s'obtiennent en prenant le lieu
des zéros P(x,y,z) =
0
d'un polynôme à 3 variables. La vie est plus simple sur un
corps
algébriquement clos de caractéristiques 0, nous prendrons
donc P
à coefficient dans C (c'est le complexe
du titre, qui est en fait une simplification !). Par ailleurs, il est
plus facile de travailler avec des objets compacts, et donc de
``rajouter des points à l'infini'' (c'est le mot projectives du titre), le premier cours
commencera donc par rappeler les notions d'espaces projectif et
coordonnées homogènes...
Mon parti pris est d'essayer de focaliser sur les exemples; les 4
premiers cours introduiront des techniques fondamentales (notions de
diviseur en particulier) mais il y aura malgré tout tout de
suite des
exemples. Par ailleurs, je prends le parti d'éviter les
techniques
cohomologiques (cf les 2 pages de préfaces de [Ha]).
Le cours concernera principalement les surfaces, mais comme je
ne suppose pas que vous ayiez déjà étudié
les courbes, nous étudierons
aussi au passage ces dernières (en fait l'idée de base
pour étudier une
surface est de comprendre les courbes qu'elle contient).
En guise d'accroche publicitaire, voici un aperçu de ce que nous verrons pendant ce cours :
Pour finir, un peu de bibliographie commentée. Mon livre de référence pour les faits de base en géométrie algébrique sera [S], il y a aussi [Ha] que j'aime beaucoup (beaucoup d'exemples, peu de technologie...). Si vous avez l'envie (et le temps !) de lire un peu avant le début du cours, les 20 premières pages de [S] sont excellentes; il y a aussi le livre de Reid [R1] qui est très accessible. Concernant plus spécifiquement les surfaces, le livre de Beauville [B] est très bien, mais il ne faut pas se laisser bloquer par les 2 premiers chapitres. Sur le web, on peut trouver des notes d'un cours de Vakil [V] de niveau master, et des notes de Reid [R], de niveau plus élevé mais écrites dans un style enthousiasmant. Le livre de Barth-Peters-Van de Ven [BPV] concerne plus généralement les surfaces complexes compactes (pas forcément algébriques), je vais m'en servir en particulier pour ce qui concerne les surfaces elliptiques.
Références :
[B] Beauville, surfaces algébriques complexes,
Astérisque 54.
[BPV] Barth, Peters et Van de Ven, Compact complex surfaces,
Springer.
[H] Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.
[Ha] Harris, Algebraic Geometry, a first course, Springer.
[R1] Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Lecture Notes.
[R] Reid, Chapter on surfaces, in Complex algebraic varieties, J. Kollár (Ed.), disponible sur le web :
http://www.maths.warwick.ac.uk/ miles/surf/ParkC
[S] Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, volume 1.
[V] Vakil, notes de cours disponibles sur
http://math.stanford.edu/ vakil/02-245/index.html