Rencontres Pau-Tarbes-Toulouse de Géométrie Algébrique

(Archives)

Organisateurs : Benoît Bertrand, Thomas Dedieu, Daniele Faenzi, Jean Vallès
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Équipe Algèbre et Géométrie (UPPA), Institut de Mathématiques de Toulouse
INTERLOW (ANR-09-JCJC-0097-01 projet jeune chercheur, porté par Vincent Florens)
ANR CLASS


Lundi et mardi 13 et 14 octobre 2014 à Toulouse
Salle 207, Bâtiment 1R2

Rencontre spéciale DPTT en conjonction avec BirPol VIII

Affiche

Lundi 13 :
Mardi 14 :

Résumés

Surfaces cubiques I (M. Bernardara)
Dans cet exposé, j'introduirai la notion de système linéaire sur une variété lisse projective, et je construirai le morphisme associé à un système sans points base. Ensuite, je montrerai comment le système linéaire des cubiques du plan projectif passant par 6 points (en position générale) donne un plongement de l'éclatement du plan en ces points comme surface cubique dans P^3.

Surfaces cubiques II (T. Dedieu)
À la suite de l'exposé de M. Bernardara, je montrerai réciproquement que toute surface lisse de degré 3 dans l'espace projectif de dimension 3 peut être réalisée comme un plan éclaté en 6 points. Ensuite, j'introduirai la théorie de l'intersection pour les surfaces, et expliciterai dans ce cadre la formule d'adjonction. Ces outils seront finalement utilisés pour étudier les courbes tracées sur une surface cubique de l'espace projectif.

Théorème de Castelnuovo-Noether I (A. Lonjou)
Le théorème de Castelnuovo-Noether affirme que toute application birationnelle du plan projectif complexe admet une factorisation par des transformations linéaires et quadratiques. Je donnerai une preuve de ce théorème suivant un article d'Alexander paru en 1915.

Théorème de Castelnuovo-Noether II (S. Lamy)
Je donnerai une autre preuve du théorème, en suivant l'approche moderne exposée dans le livre de Kollar, Smith et Corti "Rational and Nearly Rational Varieties".

Jeudi 22 novembre 2012 à Pau

Résumés

Singularités de la duale projective (R. Abuaf)
Soit X $\subset \mathbb{P}^N$ une variété projective lisse, $L \subset \mathbb{P}^N$ un espace linéaire et $H \supset L$ un hyperplan général contenant $L$. Le théorème de Bertini affirme que le lieu singulier de $H \cap X$ est inclus dans $L \cap X$. Que dire d'un hyperplan contenant $L$ qui coupe $X$ non transversalement en dehors de $L \cap X$? On pourrait penser que sa multiplicité dans la duale projective de $X$ est strictement supérieure à celle d'un hyperplan général contenant $L$. Ce n'est malheureusement pas toujours le cas.
Dans cet exposé je définirai la notion "d'ombre de $L$ sur $X$". C'est une sous variété de $X$ qui est liée à la variété des droites incluses dans $X$ passant par $L$. Je montrerai que si $H \supset L$ coupe $X$ non transversalement en dehors de l'ombre de $L$ sur $X$, alors la multiplicité de $H$ dans $X^*$ est strictement supérieure à la multiplicité d'un hyperplan général contenant $L$. On discutera avec soin l'exemple de la surface cubique réglée dans $\mathbb{P}^4$ : il montre que notre résultat est optimal. Enfin on évoquera quelques pistes pour aborder la classification des triplets $(\mathbb{P}^N, X, L)$ tels que l'ombre de $L$ sur $X$ recouvre $X$ tout entière.

4-vecteurs de C^8 et quartique de Coble (L. Gruson)
On sait depuis longtemps que l'action de SL_7 sur wedge^3(C^7) a un nombre fini d'orbites, le complémentaire de l'orbite ouverte étant une hypersurface de degré 7. D'autre part, si P = Proj(sym(V)) où V est de dimension 8, on sait que l'espace vectoriel de sections de Omega^3_P(4) est wedge^4(V). En "faisceautisant" (sur le fibré vectoriel Omega_P, de rang 7) l'hypersurface en question, on associe ainsi, à un élément de wedge^4(V), une quartique de P: de façon plus pédante, on trouve une projection SL_8 invariante de sym_7(wedge^4(V)) sur sym_4(V).
On se propose de montrer que cette quartique est la forme générale de l'hypersurface quartique de Coble, laquelle admet pour lieu double la variété de Kummer associée à la jacobienne d'une courbe de genre 3 (laquelle a, accessoirement, un point d'inflexion marqué). Cette quartique a, conjecturalement, une équation explicite qu'on présentera.
Travail commun avec S. Sam et J. Weyman

Mardi et mercredi 9 et 10 octobre 2012 à Toulouse
Rencontre spéciale : hypersurfaces de Kummer et de Coble et leurs propriétés de dualité

Affiche

Mardi

(salle de conférence MIP, bâtiment 1R3, 1er étage)

Mercredi

(salle 207, bâtiment 1R2, 2ème étage)

Résumés

La quartique de Kummer (T. Dedieu)
Cet exposé sera très élémentaire, et servira d'introduction à la rencontre. Je décrirai la surface quartique de Kummer et sa configuration 16_6 : elle possède 16 points double ordinaires, et il y a 16 plans qui lui sont tangents le long d'une conique. Chaque point double appartient à 6 coniques, et chaque conique contient 6 points doubles. Je montrerai les liens entre cette structure et les propriétés d'autodualité de la Kummer.

Variétés abéliennes et groupes de Heisenberg (A. Beauville)
Dans cet exposé élémentaire j'introduirai les bases nécessaires pour comprendre les hypersurfaces de Coble: variétés abéliennes, polarisations principales, groupes de Heisenberg et leur action sur les espace de fonctions thêta.

Autodualité de la quartique de Coble et applications (C. Pauly)
Je montrerai que l'hypersurface de Coble de degré 4 dans P^7 coincide avec l'espace de modules des fibrés semistables de rang 2 et de déterminant trivial sur une courbe projective lisse de genre 3 (théorème de Narasimhan et Ramanan). Ensuite je décrirai l'application duale en termes de fibrés vectoriels et je concluerai que l'hypersurface de Coble de degré 4 est auto-duale. Finalement, je décrirai un analogue pour les courbes de genre 4.

Géometrie de l'espace de modules des fibrés vectoriels de rang 3 sur une courbe de genre 2 (A. Ortega)
L'espace des modules des fibrés de rang r avec déterminant trivial sur une courbe C, admet une application rationnelle dans le système linéaire |r\Theta|, connue comme l'application Theta.
Lorsque r=2 et C est non-hyperelliptique de genre 3, Narasimhan et Ramanan ont démontré que l'application theta définit un isomorphisme entre l'espace de modules et la quartique de Coble dans P^7.
Dans cette exposé on expliquera le cas r=3 et genre 2 où on retrouve l'autre hypersurface de Coble. Dans cette situation l'application theta est de degré 2 ramifié le long d'une hypersurface sextique dans P^8. On montre que cette sextique est est la variété duale de la cubique de Coble.

Surfaces de Weddle et leurs espaces de modules (M. Bolognesi)
La surface de Weddle est une surface quartique avec 6 noeuds qui est un modèle birationnel de la surface d Kummer. Dans cette exposé je vais décrire l'espace de modules qui paramètre telles surfaces, notamment l'espace de modules A_2(3)^- des surfaces abéliennes principalement polarisées avec une structure de niveaux 3 et une thêta caractéristique impaire. Ceci est l'analogue impaire de l'espace A_2(3,6) et il sera construit via des fonctions thêta-constantes. En suite, en utilisant une construction de Coble on montrera que A_2(3)^- rationnel.

Hypersurfaces de Coble (A. Beauville)
Il y a presque un siècle, Coble a décrit des hypersurfaces remarquables associées aux variétés abéliennes principalement polarisées de dimension 2 et 3. J'essaierai d'expliquer son résultat en termes modernes.

Mardi 26 juin 2012 à Toulouse

(Salle MIP)

Jeudi 31 novembre 2011 à Tarbes

Jeudi 10 novembre 2011 à Tarbes

Lundi 6 juin 2011 à Toulouse

Mardi 10 mai 2011 à Pau

(début de la journée à 10h)

Jeudi 7 avril 2011 à Toulouse

Mardi 1er mars 2011 à Toulouse


Mardi 1er février 2011 à Pau