Enseignement
GT : Mouvement brownien branchant et équation de réaction-diffusion
Le mouvement Brownien branchant est un système de particules sur la droite réelle. Chaque particule se déplace de façon indépendante selon un mouvement Brownien, tout en se séparant en deux au bout d'un temps exponentiel. Ce processus est connecté avec une équation de réaction diffusion dite F-KPP, introduite parallèlement par Fisher et par Kolmogorov, Petroviskii et Piskunov dans les années 30 pour décrire le comportement d'une population invasive.
L'objectif de ce groupe de travail est de montrer cette connexion entre le mouvement Brownien branchant et l'équation F-KPP et d'illustrer quelques applications de cette connexion. Nous introduirons progressivement les outils nécessaires à la description du mouvement Brownien branchant et son lien avec l'équation F-KPP en suivant les notes de cours de Julien Berestycki.
En particulier, nous introduirons et décrirons :
- le processus de Yule décrivant le nombre de particules d'un mouvement Brownien branchant;
- le mouvement Brownien, décrivant la trajectoire des particules, et ses lien avec l'équation de la chaleur;
- la représentation de McKean liant mouvement Brownien branchant et équation F-KPP;
- la position du front de l'équation F-KPP;
- les méthodes de changement de mesure et décompositions épinales.
Bibliographie
- K. B. Athreya and P. E. Ney, Branching processes
- J. Berestycki, Topics on Branching Brownian Motion
- J.-F. Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires
- O. Kallenberg, Foundation of Modern Probability