Conclusion

La dynamique x ↦ a·x·(1−x) est typique de la théorie du chaos. Il est facile de l'explorer expérimentalement et d'en tirer des faits, qui se révèlent être très difficiles à montrer. En fonction du paramètre, la dynamique peut-être structurée ou chaotique (cas d'une union finie d'intervalles). Au delà de l'apparent désordre se cachent des régularités associées à une combinatoire simple, mais qui ne saute pas aux yeux (et dont nous n'avons pas parlé ici).

L'étude mathématique de cette famille est née avec la possibilité d'expérimentations numériques par ordinateur, dans les années (19)70. Ce domaine de recherche est encore actif de nos jours, et se nomme la dynamique en dimension 1. Il fait partie du plus vaste domaine des systèmes dynamiques. On la nomme parfois également théorie du chaos, bien que toute dynamique ne soit pas forcément chaotique.

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Références

Je ne fais figurer ici que deux références, que j'ai lues en totalité ou en partie.

Livres

• Dieu joue-t-il aux dés : les mathématiques du chaos, Ian Stewart & Benoît Mandelbrot, Champs Flammarion, 1994.
  Un livre tous-publics, très agréable à lire.
• One Dimensional Dynamics, W. de Melo & S. van Strien, Springer-Verlag, 1993.
  Il s'agit d'un livre très complet, en anglais, qui s'adresse au mathématicien professionnel.

Sites Webs

• Pour en savoir plus sur la constante de Feigenbaum, et d'autres constantes : https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/f/f052.htm [Archive de www.mathsoft.com/cgi-shl/constant.bat]