Une preuve

C'est un raisonnement par l'absurde. La suite étant décroissante et positive, elle a une limite (valeur vers laquelle la suite tend), que l'on note l. Si cette limite n'était pas nulle, alors ce serait absurde car :
– la suite tendant vers l en décroissant, elle lui est toujours supérieure
– itérer ce nombre limite donne un nombre strictement inférieur : l' &tl; l
– donc une fois qu'un élément de la suite est suffisamment proche de l, l'itéré suivant est proche de l', donc inférieur à l.

Il y a d'autres preuves de cela.