Les ensembles de Cantor
Avant de définir les ensembles de Cantor, regardons quelques spécimens.
Partons du segment [0,1].
Subdivisons-le en trois segments égaux et retirons celui du milieu (en conservant les deux points qui bornent ce dernier).
Il reste deux segments plus petits. On recommence l'opération avec chacun d'entre eux.
Et ainsi de suite.
Ici, on s'arrête à la 5e génération, mais en mathématiques on poursuit indéfiniment, ce qui signifie que l'on retire une infinité d'intervalles. Que reste-t-il ? Plein de points. Il reste déja les bords de chaque intervalle retiré. Mais ce n'est pas tout ! Il y a une infinité d'autre points, infinité bien plus grande (en un sens que je ne préciserai pas, appartenant à la théorie des cardinaux). Pour ceux qui connaissent les bases de la numération, si on note les nombres en base 3 (avec les chiffres 0, 1, 2) au lieu de la base 10 (les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) alors l'ensemble de Cantor est formé des nombres ne possédant pas de '1' dans leur développement en base 3 (exemple : 0.0220200020022202…) et des nombres de développement fini n'ayant de '1' qu'à leur dernier chiffre non nul en base 3 (exemple : 0.2201)
L'applet suivant montre les ensembles de Cantor que l'on peut construire avec le même procédé mais en modifiant le facteur d'échelle. Il indique également la dimension fractale de cet ensemble, qui donne l'unité appropriée pour mesurer sa masse (un volume se mesure en m3 (mètres cubes), une surface en m2, une courbe en m, et un ensemble fractal en md où d est la dimension fractale, qui n'est pas forcément un nombre entier). Notons que l'impression qu'il contient parfois des intervalles n'est qu'une illusion, due au fait que l'écran n'a pas une résolution infinie : les trous deviennent trop petits pour être vus.
Maintenant, au lieu d'enlever un segment centré exactement au milieu du segment de départ, on peut retirer n'importe quel intervalle ]a,b[ avec 0 < a < b < 1. Puis recommencer avec chacun des deux segments restants, mais en changeant à chaque fois la position et la taille des intervalles retirés. Puis ainsi de suite… (On peut aussi changer le nombre d'intervalles retirés, mais on obtient les mêmes ensembles de Cantor restants au final). Sans précautions, cette procédure pourrait laisser des intervalles dans l'ensemble limite, il faut donc demander que les intervalles retirés forment un ensemble dense dans l'intervalle [0,1].
L'applet suivant dessine des ensembles de Cantor aléatoires.
En mathématiques, on définit une notion plus générale d'ensembles de Cantors, indépendamment de "l'espace" qui les contient (que se soit l'intervalle [0,1] commme ici, ou bien le plan, ou bien d'autres "espaces").
Je ne resiste pas à l'envie de montrer un exemple esthétique d'ensemble de Cantor du plan (issu de la "dynamique holomorphe").
