Multiplicateurs et unicité

Un point périodique x de f, de période p, appartient à un cycle périodique : x₀ = x, x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁), x₃ = f(x₂), etc… jusqu'à x_p qui est égal à x₀ par définition d'un point périodique. Les x_i sont des points fixes de f^p, envoyés les uns sur les autres par f. Cela se traduit graphiquement par le fait que le graphe de f^p coupe la diagonale en chacun des x_i (mais les x_i ne sont pas forcément les seuls points d'intersection).

Le multiplicateur de x, c'est la pente avec laquelle le graphe de f^p coupe la diagonale. C'est la même valeur en tous les points du cycle (en effet, on calcule que cette pente, qui est égale à la dérivée de f^p au point considéré, est aussi égale au produit des dérivées de f en chacun des points du cycle, d'après la règle de la chaîne ; notons qu'il y a d'autres preuves).

Non unicité

Les fonctions f : x ↦ a·x·(1−x) pour 1 < a < 2 sont toutes conjuguées entre elles. Le point attractif 1 − 1/a n'a pas le même multiplicateur, qui varie de 1 à 0 quand a varie de 1 à 2. Mais cela n'est pas un obstacle à la conjugaison, d'ailleurs quand b et c sont non nuls, de même signe, et différents de -1 et de 1, alors les dynamiques de x ↦ b·x et x ↦ c·x son conjuguées (par l'application x ↦ x^d où d = ln(c)/ln(b)).

De même sur chacun des intervalles de paramètres a pour lesquels f a un cycle attractif de signe donné (positif ou négatif), les fonctions sont conjuguées sur l'intervalle [0,1] tout entier. Ce n'est bien sûr pas une évidence, mais un théorème. Ce n'est pas vrai si le cycle est répulsif, d'ailleurs les points répulsifs sont très nombreux en général.

Ainsi, quand on a une valeur de a, on associe une fonction f : x ↦ a·x·(1−x), qui si elle est renormalisable donne une fonction g (comme on l'a vu précédemment), puis une valeur de b telle que g est conjuguée à x ↦ b·x·(1−x). Malheureusement si g possède un point attractif, cette valeur de b n'est pas unique. Notons qu'on a le théorème suivant :

Théorème : une fonction de la famille x ↦ a·x·(1−x) possède au plus un cycle attractif.

Unicité

L'idée pour rétablir l'unicité de la correspondance a ↦ b consiste à imposer un condition à la fonction x↦b·x·(1−x). La fonction x ↦ a·x·(1−x) a un point périodique non répusif (c'est à dire attractif ou parabolique) si et seulement si la fonction x ↦ b·x·(1−x) a un point périodique non répulsif (de même période). On impose alors que leurs multiplicateurs soient les mêmes. S'il n'y a pas de point non répulsif, alors on n'impose rien de plus à b.

Sous ces condition, on peut démontrer qu'il n'y a qu'une seule valeur de b possible.