Bassins attractifs, sur un exemple

Revenons au cas particulier a=3.5 Quatre itérations de la fonction remplacent x par f(f(f(f(x)))), ce que l'on note en abrégé f⁴(x). Intéressons nous de plus près à cette fonction dite itérée quatrième :

Ci-dessous les graphes respectifs de f, f² et f⁴. En rouge, nous avons marqué les points fixes répulsifs, et en vert les points fixes attractifs.

Notez que les points fixes d'une figure sont des points fixes de la suivante : par exemple si le point revient sur lui-même au bout de deux coups, il reviendra alors sur lui même aussi au bout de 4 coups.

Chacun des 4 points de l'attracteur est fixe par f⁴, et attire tous les points suffisamment proches : le bassin immédiat est le plus grand intervalle dont tous les points sont attirés. Il y a 4 bassins immédiats, dessinés avec une couleur différente dans l'image ci-dessous.

Le bassin d'attraction d'un point est l'ensemble de tous les points attirés. Ils sont dessinés ci-dessous, avec les mêmes conventions de couleurs.

Notez qu'avec l'algorithme (le programme) employé pour créer le dessin, on ne voit pas les points exceptionnels (ceux qui échappent à l'attracteur). Il est pourtant facile de deviner où ils se trouvent : aux interfaces entre deux couleurs, et aux points d'accumulation.

Nous avons travaillé sur un exemple. La structure des bassins d'attraction peut être encore plus compliquée.