Enseignements

Equations de Stokes et de Navier-Stokes incompressibles

Le cours est principalement basé sur le contenu des ouvrages suivants:

F. Boyer, P. Fabrie : Eléments d'analyse pour l'étude de quelques modèles d'écoulements de fluides visqueux incompressibles, Mathématiques et Applications Vol. 52, 405 p., Springer (2006) Published on-line
F. Boyer, P. Fabrie : Mathematical tools for the study of the incompressible Navier-Stokes equations and related models, Applied Mathematical Sciences, vol. 183, Springer (2013) Published on-line

Autres références à consulter :

H. Brézis : Analyse fonctionnelle, Collection Mathématiques appliquées pour la maîtrise, Masson (1983)
F. Demengel et G. Demengel : Espaces fonctionnels, utilisation dans la résolution des équations aux dérivées partielles, Savoirs actuels, EDP Sciences (2007)
P. Dreyfuss : Introduction à l'analyse des équations de Navier-Stokes, Editions ellipses (2001)
R. Temam : Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis; reprint of the 1984 edition, AMS Chelsea, Providence, RI (2001)

7 Nov. 2012

Chapitre 1 : Présentation des équations de la méca flu
- Notion de milieu continu. Densité, flot, champ de vitesse.
- Théorème du transport
- Equations de bilan : conservation de la masse, de la quantité de mouvement, du moment cinétique, de l'énergie
- Théorème de Cauchy : tenseur des contraintes. Symétrie du tenseur des contraintes. Flux de Fourier
- Fluides Newtoniens : notion de viscosité

9 Nov. 2012

Chapitre 1 (suite et fin)
- Notion d'écoulement incompressible : limite faible Mach et pression “incompressible”
- Présentation de la hiérarchie de modèles étudiés dans ce cours. Conditions aux limites
Chapitre 2 : Espaces de Sobolev et autres outils d'Analyse fonctionnelle
- Définition des espaces de Sobolev $W^{m,p}(\Omega)$, $W^{m,p}_0(\Omega)$ dans un domaine borné, régulier de $\mathbb{R}^d$, d=2 ou 3
- Premières propriétés : densité des fonctions régulières, théorème de prolongement
- Traces, espace de traces, théorème de relèvement de la trace, caractérisation de $W^{1,p}_0$ par la trace

21 Nov. 2012

Chapitre 2 (suite)
- Quelques mots sur la théorie des distributions
- Dualité dans les Sobolev
- Injections de Sobolev et inégalités de Poincaré
- Le problème de Laplace avec terme source $H^{-1}$ et conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes :
  - Existence et unicité par Lax-Milgram
  - Théorème de régularité elliptique

22 Nov. 2012

Chapitre 2 (suite et fin)
- Le problème de Laplace avec conditions aux limites de Neumann non-homogènes :
  - Conditions de compatibilité sur les données
  - Existence et unicité par Lax-Milgram
  - Théorème de régularité elliptique
Chapitre 3 : Le problème de Stokes
- Introduction
- Inégalité de Nečas (preuve dans $R^d$ et dans le demi-espace; admis pour un domaine borné)
- Inégalités de Poincaré dans $H^{-1}$

28 Nov. 2012

Chapitre 3 (suite)
- Théorème de de Rham
- Inverse à droite de la divergence; liens avec l'inégalité inf-sup
- Les espaces de fonctions à divergence nulle
- Résolution du problème de Stokes avec données homogènes et non-homogènes

5 Déc. 2012

Chapitre 3 (suite et fin)
- L'opérateur de Stokes. Fonctions propres de l'opérateur
- Théorème de régularité elliptique pour le problème de Stokes
- Le problème de Stokes avec conditions aux limites de Neumann
Chapitre 4 : Les équations de Navier-Stokes
- Remarques préliminaires sur les difficultés liées à la non-linéarite
- Existence de solutions stationnaires à tout Reynolds (par Galerkin + Brouwer) pour des conditions de Dirichlet homogène.

14 Déc. 2012

Chapitre 4 (suite)
- Fin de la preuve d'existence pour NS stationnaire : utilisation de la compacité
- Existence de la pression + quelques mots sur la régularité et l'unicité des solutions
- Outils d'analyse fonctionnelle pour NS non-stationnaire (Intégrale de Bochner et Lemme d'Aubin-Lions-Simon)
- Définition des solutions faibles de NS et énoncé du théorème de Leray

23 Jan. 2013

Chapitre 4 (suite et fin)
- Preuve du théorème de Leray
  - Construction de la solution approchée par Galerkin
  - Estimations d'énergie + estimation des dérivées en temps
  - Justification du passage à la limite
  - en 2D : preuve de l'identité d'énergie et de l'unicité des solutions faibles.