Numérique pour les équations de type Gross-Pitaevskii
En collaboration avec Xavier Antoine et Christophe Besse, je m'intéresse à des méthodes numériques précises et robustes pour déterminer les états stationnaires (ground states) de l'équation de Gross-Pitaevskii dans le cadre des condensats de Bose-Einstein. Je me focalise plus particulièrement sur les cas où la non linéarité (qui correspond au terme d'interaction) est forte et où la rotation est rapide. Je considère de plus le cas de condensats à plusieurs composantes.
En collaboration avec Xavier Antoine, je développe une toolbox libre d'accès sous Matlab, GPELab, qui permet de réaliser des simulations dynamiques et des calculs d'états stationnaires pour les équations de type Gross-Pitaevskii à l'aide de schémas spectraux.
Analyse numérique pour les équations de Schrödinger stochastiques
En collaboration avec Renaud Marty, je m'intéresse aux schémas de type Splitting pour les équations de Schrödinger stochastiques. Dans mes travaux, j'aborde en particulier la propriété dite d'asymptotic preserving dans le cadre de bruits aléatoires approchés.
Problème de Cauchy pour les équations de type Gross-Pitaevskii stochastiques
Dans ma recherche, j'aborde le problème de d'existence et d'unicité de solutions pour les équations de type Gross-Pitaevskii. Je m'intéresse en particulier à la construction quasi-explicite de solutions pour le problème linéaire associé par des intégrales de type Feynman. Cette construction est rendue possible grâce à la méthode dite des bi-charactéristiques développée notamment par D. Fujiwara.
Effets de régularisation stochastique
La régularisation stochastique est un phénomène à l'interface entre l'analyse fonctionnelle et les probabilités. Celui-ci se traduit notamment grâce à l'astuce dite d'Itô-Tanaka qui fournit une relation entre l'intégrale temporelle d'une fonction dépendante d'un processus stochastique avec différentes intégrales temporelles (déterministe et stochastique) de la solution de l'équation de Fokker-Planck associée au processus. On peut alors montrer que l'intégrale temporelle de la fonction est plus régulière que la fonction elle-même. En collaboration avec Anthony Réveillac, je cherche à étendre cette astuce à de nouveaux contextes.
Minimisation d'entropies quantiques sous contraintes locales
En collaboration avec Olivier Pinaud, nous nous intéressons à des problèmes de minimisation d'entropies quantiques sous contraintes locales. Plus précisément, nous voulons prouver, dans un premier temps, l'existence et l'unicité de minimiseurs pour des entropies quantiques dans des espaces d'opérateurs de densités dont plusieurs moments (correspondant formellement à une densité, un courant et une énergie) sont donnés localement. Dans un second, nous essayons de caractériser ces minimiseurs en dégageant des équations de type Euler-Lagrange par un argument perturbatif. Le problème se retrouve dans le travail de Degond et Ringhofer concernant la dérivation de modèles d'hydrodynamique quantique, et consiste en une adaptation, dans un cadre quantique, de la stratégie de fermeture des moments par minimisation d'entropie rencontrée en théorie cinétique.
