On the occasion of C. Soulé's sixtieth birthday |
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Program :
J.-M. Bismut: Laplacien hypoelliptique et torsion analytique Pour une projection propre projective, le théorème de Riemann-Roch-Grothendieck exprime le caractère de Chern de l'image directe d'un fibré holomorphe comme intégrale dans la fibre de classes caractéristiques. Les travaux de Gillet, Lebeau, Soulé, et moi-même ont raffiné ce résultat au niveau des formes différentielles. Les formes de torsion analytique holomorphes explicitent ce raffinement. Dans l'exposé, je montrerai que sans aucune hypothèse sur l'espace total de la projection, quand l'image directe est localement libre, la théorie du laplacien hypoelliptique permet d'obtenir une version du théorème de Riemann-Roch-Grothendieck dans la cohomologie de Bott-Chern. La torsion analytique associée au laplacien hypoelliptique possède des propriétés proches de la torsion analytique elliptique. On obtient une formule de comparaison entre métriques de Quillen elliptiques et hypoelliptiques, qui fait intervenir le genre R de Gillet et Soulé. J.-B. Bost: Inégalités en géométrie d'Arakelov et constantes optimales Divers résultats de géométrie d'Arakelov prennent la forme d'inégalités reliant des degrés d'Arakelov ou des nombres d'intersection arithmétique associés à des objets tels que des variétés projectives sur des corps de nombres, ou des cycles algébriques ou des fibrés vectoriels sur de telles variétés. Comparées à leurs avatars concernant des objets sur des corps de fonctions, ces inégalités font intervenir des constantes dépendant des invariants géométriques des objets concernés. Cet exposé discutera le rôle de ces constantes dans les applications diophantiennes, ainsi que diverses questions posées par la détermination de leur valeur optimale. J.-I. Burgos: On the arithmetic Riemann-Roch theorem The arithmetic Riemann Roch theorem is one of the cornerstones of Arakelov theory and is due, among other mathematicians to C. Soulé. In this talk we will explain how to generalize the holomorphic analytic torsión forms of Bismut and Köhler to non smooth projective morphism and use it to derive an arithmetic Riemann-Roch theorem for morphisms that are not necessarily smooth at the generic fibre. H. Chen: Corps d'Okounkov et positivité locale en géométrie d'Arakelov On explique comment associer à un système linéaire gradué convenable d'un fibré inversible gros un corps convexe qui décrit la positivité locale du système linéaire gradué. Ensuite, on discute les applications de cette construction dans la géométrie d'Arakelov. F. Déglise: Une formule de Riemann-Roch résiduelle La topologie algébrique a depuis longtemps interprété le théorème de Riemann-Roch dans le cadre de la théorie de l'orientation des théories cohomologiques. J'expliquerai comment utiliser la théorie homotopique stable de Morel et Voevodsky pour obtenir cette version du théorème de Riemann-Roch dans un cadre arithmétique. Chemin faisant, on mettra au jour une forme de ce théorème qui fait intervenir les résidus plutôt que les morphismes de Gysin. H. Gangl: Perfect forms, K-theory and the cohomology of modular groups The classical Voronoi cell complex attached to a space of rank N quadratic forms gives detailed information both on homology with Steinberg coefficients of GL_N( R) for a number ring R, whence also on certain K_m( R), and on the cohomology of GL_N( R). We recall how those objects are related and investigate in particular the cases where R denotes the integers, with N<=7 (joint with Elbaz-Vincent and Soule), or the Gaussian integers, with N<=4 (joint with Yasaki, Dutour, Schuermann et al.). H. Gillet: Higher Derivations and Descent in Characteristic p In characteristic 0 the Kodaira-Spencer class is the obstruction to a family of curves being isotrivial, and more generally one knows that if X a projective variety over an algebraically closed field K of characteristic zero, then it is defined over the fixed field of all the derivations of K which lift to X. I shall describe how one may use higher derivations, in the sense of Hasse-Schmidt, to obtain a similar result in positive characteristic. B. Kahn: Sur les conjectures de Hodge et de Tate généralisées pour les produits de courbes elliptiques Il est connu qu'un produit de courbes elliptiques sur C vérifie la conjecture de Hodge, et qu'un produit de courbes elliptiques sur un corps fini vérifie la conjecture de Tate. Qu'en est-il pour les conjectures généralisées correspondantes? La réponse est oui pour un produit de courbes elliptiques "en position générale". Le premier cas de position non générale est celui de quatre courbes à multiplication complexe par des corps quadratiques imaginaires non linéairement disjoints. Si B désigne le produit de ces courbes, il existe une variété abélienne A simple de dimension 4, à multiplication complexe par le composé des corps quadratiques ci-dessus, telle que la conjecture de Hodge (resp. de Tate) généralisée pour N^1 H^4(B) soit "contrôlée" par certains cycles de Hodge (resp. de Tate) explicites, de codimension 3 sur A^2\times B. L'algébricité de ces cycles est -- pour l'orateur -- une question ouverte. J. Kramer: A remark on a result of Parshin In our talk we will discuss effective bounds for Faltings's delta function for compact Riemann surfaces of genus g>1 arising in families parametrized by a compact Riemann surface. As an example our results can be applied to a construction of Parshin in which he associates to a smooth projective curve X of genus g>1, a family of smooth projective curves covering the original curve with prescribed ramification. A. Moriwaki: Generalized Hodge index theorem on arithmetic varieties I would like to talk on the generalized Hodge index theorem on arithmetic varieties, which is closely related to the works of Prof. Soulé. Moreover, I will give a recent development of the equality condition of the generalized Hodge index theorem. A. Scholl: TBA B. Toën: Cyclic homology and symplectic structures in derived algebraic geometry We use negative cyclic homology to define the notion of shifted symplectic structure on a commutative dg-algebra, and by descent techniques on any derived schemes or stacks. The main theorem states that the derived mapping stack from an oriented object to a symplectic target carries a canonical symplectic structures. This result is used to construct many examples: moduli of sheaves on CY varieties, local systems on compact oriented topological manifolds ... If times permits I will explain what quantization means in this setting. C. Voisin: Coniveau de la cohomologie et cycles algébriques Le fait que la taille des groupes de Chow contrôle le coniveau géométrique de la cohomologie est bien compris grâce aux travaux de Mumford sur les zéros-cycles et leurs développements ultérieurs. La conjecture de Bloch prédit inversement que le coniveau de la cohomologie contrôle la taille des groupes de Chow. Nous montrons qu'un tel résultat résulte de la conjecture de Lefschetz standard, pour les variétés obtenues comme intersections complètes d'hypersurfaces très amples dans une variété à groupes de Chow triviaux. |