L'arbre de Feigenbaum, vu de plus près

Voici à nouveau l'image de l'arbre de Feigenbaum, pour a variant de 0 à 4

Et l'applet qui permet de visualiser l'attracteur en fonction de a, c'est à dire les coupes horizontales de l'arbre de Feigenbaum.

Un agrandissement de l'arbre, pour a variant de 3 à 4. Notez que l'échelle verticale a changé, alors que l'échelle horizontale est la même.

Nous pouvons observer plusieurs phénomènes sur ces dessins :

• l'attracteur n'est pas toujours réduit à un nombre fini de points
• On aperçoit des fenêtres dans l'arbre, qui contiennent elles-mêmes de petits arbres; la plus grosse en contient trois
• quand le paramètre varie continûment en croissant depuis a=1, on assiste à une cascade de dédoublements de période, qui semble s'accélérer et dégénérer pour une valeur de a située entre 3.5 et 3.6

On peut se poser les questions suivantes :

• l'agrandissement ayant révélé des fenêtres invisibles sur la première image, est-ce que ces fenêtres ne seraient pas en fait présentes en nombre infini, voire partout ?
• comment interpréter ces fenêtres ?
• arrive-t-il que l'attracteur soit un intervalle, ou quelque chose de plus étrange ?
• comment interpréter la cascade de doublements de période, qu'arrive-t-il au bout ?