Exemple de comportements possibles

Un système dynamique peut être vu (point de vue mathématique) comme l'application répétée d'une certaine fonction f.

On se donne une valeur de départ : x0
On itère l'application : x1 = f(x0)
On réitère : x2 = f(x1)
On réitère : x3 = f(x2)
…

On s'intéresse au comportement de la suite de nombres x0, x1, x2, x3, …
Est-elle constante ? ex : 0.23, 0.23, 0.23, 0.23, …
Est-elle périodique ? ex : 0.18, 0.56, 0.72, 0.18, 0.56, 0.72, …
Tend-elle vers un nombre ? ex : 0.1, 0.15, 0.19, 0.198, 0.1999, … qui tend vers 0.2

Revenons à la fonction qui nous intéresse : f(x) = x·(1−x). Sa dynamique est assez simple :

1. si le point de départ est 0, la suite des itérés est constante, égale à 0 à chaque fois : 0, 0, 0, 0, …
2. si le point de départ est 1, la suite des itérées vaut 0 à partir de x1 : 1, 0, 0, 0, …
3. sinon, la suite de nombre est décroissante, positive, et tend vers 0.

Pour avoir une dynamique plus intéressante, nous allons modifier notre fonction.