Visite guidée

Dans l'applet ci-dessous, cliquez sur la zone d'édition contenant le mot "Paramètre". Inscrivez-y le nombre 0.5 (si vous voulez, vous pouvez confirmez en pressant la touche 'Entrée'). Vous avez choisi le paramètre a = 0.5. Cliquez sur la zone contenant le mot "Dynamique". Inscrivez-y le nombre 0.7. Vous avez choisi le point de départ x = 0.7. Cliquez sur le bouton "Itérer". Réitétez. Comme vous pouvez le constater, 0 est un attracteur : le nombre tend rapidement vers 0, sans jamais valoir 0. Au bout de quelques click, la zone dynamique indique constamment 0.00000000… C'est parce que le nombre est devenu trop petit pour que la machine puisse le distinguer de 0.

Essayez maintenant avec le paramètre a = 1.5 et la valeur de départ x que vous voulez (compris entre 0 et 1). Cette fois-ci la suite tend vers l'attracteur x=1/3=0.33333333… Sauf si vous avez choisi le point de départ x=0 ou x=1. Si vous prenez pour point de départ la valeur obtenue à la fin du paragraphe précédent, selon la machine que vous utilisez, il y a des chances pour que cette valeur ne soit pas exactement égale à 0, même si 0 est affiché. Dans ce cas au bout de quelques click, la zone dynamique affiche un nombre non nul, mais proche de 0. Ce nombre croît rapidement et fini par décoller et tendre vers 1/3. Vous pouvez aussi, si vous voulez, partir d'un petit nombre explicite comme 0.000001. On constate ainsi que 0 est devenu répluseur.

Essayez avec le paramètre a = 1.6 : qu'arrive-t-il à l'attracteur ?

Essayez avec le paramètre a = 1.7 : remarquez que la convergence vers l'attracteur est de plus en plus rapide ?

Essayez avec a = 2.

Essayez avec a = 2.5. Qu'y a-t-il de nouveau ?

Essayez avec a = 2.9.

Essayez avec a = 3. Là, la convergence est tellement lente que vous aurez du mal à voir la limite de la suite. Sur clavier, maintenez la touche "Entrée" enfoncée après avoir sélectionné le bouton "itérer" ou cliqué dessus.

Essayez avec a = 3.1. Il y a un phénomène nouveau (vous pouvez partir de x=0.66, c'est intéressant).

On est en présence d'un cycle attractif, de période 2 : le nombre est attiré par une paire de points, qui s'envoient l'un sur l'autre par la fonction. Essayez avec a = 3.4. Le cycle attractif a bougé.

Essayez avec a = 3.5. Il y a encore dédoublement de période.

Essayez avec a = 3.6. Le mouvement semble aléatoire : c'est un mouvement chaotique.

Essayez avec a = 3.84. Nous quittons le chaos : après un début mouvementé, la suite se stabilise et tend vers un cycle de période 3.

Essayez avec a = 4. Le point visite tout l'intervalle.

Défis
- Trouver une valeur du paramètre avec un attracteur de période 8 (indication : chercher près de 3.5).
- Idem pour la période 6.
- Idem pour la période 5 (plus difficile).