L'attracteur
Les réponses suivantes sont des exemples de valeurs qui marchent. Ce ne sont pas les seules.
- attracteur de période 8 :
a = 3.55
- attracteur de période 6 :
a = 3.845
- attracteur de période 5 :
a = 3.739
C'est l'ensemble des points vers lequel tout point de départ entre 0 et 1 finit par être attiré.
L'attracteur de a=2 est le point x=0.5.
L'attracteur de a=3.739 est constitué de cinq points.
En disant que tout point est attiré par l'attracteur, je triche.
Il y en effet des exceptions. La plus évidente est le point de départ x=0. Il est fixe, et ne peut donc tendre vers l'attracteur, (à moins que ce dernier ne soit réduit au seul point 0, ce qui arrive uniquement quand a≤1).
Le point 1 est envoyé sur 0, donc 1 est également une exception (quand a>1).
Quand a>3, il y a d'autres exceptions. Illustrons-le sur un exemple.
Avec l'applet ci-dessous, vous constaterez que l'attracteur est constitué de 4 points (partez d'un nombre au hasard).
Les valeurs sont approximativement, 0.50088421, 0.87499726, 0.38281968 et 0.82694070. L'image suivante illustre dans quel ordre ils s'envoient les uns sur les autres.
![dynamique des 4 points de l'attracteur](f1.png)
On peut trouver mathématiquement une valeur échappant à l'attracteur : si on écrit a=3.5=7/2, et si on s'intéresse à l'image des nombres 0/7, 1/7, 2/7, …, 7/7, on trouve—et c'est remarquable—à nouveau des nombres de cette forme :
|
On peut le résumer de façon plus claire dans le diagramme ci-contre : |
![]() |
On y voit, outre le point fixe 0 déja mentionné, le point fixe 5/7 et le cycle de période 2 constitué des points (3/7, 6/7). Or 3/7 = 0.42857142…, 5/7 =0.71428571… et 6/7 =0.85714285… Aucun de ces nombres n'appartient à l'attracteur. Ils leur échappent donc. Sur la figure suivante, l'attracteur est en magenta, le point fixe 5/7 en vert et le cycle (3/7, 6/7) en bleu. Les autres valeurs 0/7, 1/7, etc. sont en noir.
Essayez la valeur numérique 0.42857142 de la fraction 3/7 dans l'applet. Que constatez-vous ?