L'attracteur
Les réponses suivantes sont des exemples de valeurs qui marchent. Ce ne sont pas les seules.
- attracteur de période 8 :
a = 3.55- attracteur de période 6 :
a = 3.845- attracteur de période 5 :
a = 3.739
C'est l'ensemble des points vers lequel tout point de départ entre 0 et 1 finit par être attiré.
L'attracteur de a=2 est le point x=0.5.
L'attracteur de a=3.739 est constitué de cinq points.
En disant que tout point est attiré par l'attracteur, je triche.
Il y en effet des exceptions. La plus évidente est le point de départ x=0. Il est fixe, et ne peut donc tendre vers l'attracteur, (à moins que ce dernier ne soit réduit au seul point 0, ce qui arrive uniquement quand a≤1).
Le point 1 est envoyé sur 0, donc 1 est également une exception (quand a>1).
Quand a>3, il y a d'autres exceptions. Illustrons-le sur un exemple.
Avec l'applet ci-dessous, vous constaterez que l'attracteur est constitué de 4 points (partez d'un nombre au hasard).
Les valeurs sont approximativement, 0.50088421, 0.87499726, 0.38281968 et 0.82694070. L'image suivante illustre dans quel ordre ils s'envoient les uns sur les autres.
On peut trouver mathématiquement une valeur échappant à l'attracteur : si on écrit a=3.5=7/2, et si on s'intéresse à l'image des nombres 0/7, 1/7, 2/7, …, 7/7, on trouve—et c'est remarquable—à nouveau des nombres de cette forme :
|
On peut le résumer de façon plus claire dans le diagramme ci-contre : |
|
On y voit, outre le point fixe 0 déja mentionné, le point fixe 5/7 et le cycle de période 2 constitué des points (3/7, 6/7). Or 3/7 = 0.42857142…, 5/7 =0.71428571… et 6/7 =0.85714285… Aucun de ces nombres n'appartient à l'attracteur. Ils leur échappent donc. Sur la figure suivante, l'attracteur est en magenta, le point fixe 5/7 en vert et le cycle (3/7, 6/7) en bleu. Les autres valeurs 0/7, 1/7, etc. sont en noir.
Essayez la valeur numérique 0.42857142 de la fraction 3/7 dans l'applet. Que constatez-vous ?